Il cerchio goniometrico

Il cerchio goniometrico è un cerchio che ha come centro il punto di origine di un sistema di assi cartesiani e di cui raggio viene usato come unità di misura della lunghezza dei segmenti. Viene adottato per spiegare le funzioni goniometriche.

Il punto di intersezione tra la circonferenza del cerchio goniometrico e l’asse delle ordinate (y) del sistema cartesiano viene denominato A mentre il punto di intersezione tra la circonferenza e l’asse delle ascisse (x) viene per convenzione chiamato H.

Il lato OA viene, inoltre assunto come lato origine degli angoli orientati. A differenza dei normali angoli, quando l’angolo orientato ruota in senso orario è di segno positivo.

Cerchio goniometrico, seno e coseno.

Costruiamo adesso l’angolo α tracciando il segmento OB. Abbiamo così costruito il triangolo rettangolo OBC la cui ipotenusa OB è uguale al raggio del cerchio goniometrico, che abbiamo stabilito uguale a 1. I rapporti tra ciascun cateto con l’ipotenusa del triangolo sono chiamate seno e coseno e sono definite funzioni goniometriche.

Funzioni goniometriche: seno e coseno.

Poniamo il caso di disegnare altre circonferenze centrando sempre su O. I triangoli rettangoli che si formano con la semiretta dove giace OB (OB’C’; OB”C”;…) risulteranno tutti simili. Il rapporto tra i loro lati sarà quindi costante, come in una proporzione. Ecco perché il seno e il coseno non cambiano e sono definiti funzioni goniometriche.

Applicando questa regola possiamo definire la tangente. Essa è data dal rapporto tra il seno e il coseno. L’inverso della tangente si chiama cotangente. Pertanto avremo queste due formule:

Funzioni goniometriche: tangente e cotangente.

Come abbiamo già detto, il rapporto dei lati tra triangoli simili è costante. Se quindi tracciamo la tangente della circonferenza goniometrica dal punto A e la congiungiamo con il prolungamento di OB, abbiamo costruito il triangolo rettangolo OAT. Dall’immagine possiamo vedere che tg α è uguale proprio al segmento tangente AT

Cerchio goniometrico e tangente.

Ripetendo la costruzione ma nel punto d’intersezione del cerchio goniometrico con l’asse delle ascisse, scopriamo che cotg α è uguale al segmento tangente che parte da quel punto di intersezione al prolungamento del lato OB.

Cerchio goniometrico e cotangente.