Gli enti primitivi

Gli enti primitivi sono degli oggetti geometrici a cui non siamo in grado di dare una definizione specifica ma che possiamo immaginare facilmente; questi ci permettono di dare una definizione a tutte le figure geometriche più complesse. Possiamo considerarli come dei grandi insiemi che ci permettono di definire e catalogare insiemi più piccoli.

In geometria, quando vogliamo spiegare che cos’è una figura geometrica gli diamo un nome e una frase che permette di descrivere le sue caratteristiche, facendo riferimento ad altre figure già note. Ad esempio, un quadrato è un parallelogramma che ha tutti i lati uguali e gli angoli interni di 90 gradi. E’ chiaro che dobbiamo sapere cosa è un parallelogramma e cosa sono le figure geometriche che ci permettono di definirlo. Andando sempre indietro arriviamo a delle figure che sappiamo cosa sono ma che non possiamo dargli una definizione come quelle più complesse. Queste vengono chiamate enti primitivi e sono il punto, la retta e il piano.

Questo non significa che non possiamo dare un’idea di cosa sono questi enti ma che, semplicemente, non hanno una vera e propria definizione come le figure più complesse. Un punto può essere rappresentato in modi diversi, possiamo inserirlo su un foglio con una matita o su un PC semplicemente facendo clic con il mouse. Per questo motivo, il punto viene considerato senza dimensioni.

Una retta è un insieme di punti che si susseguono tra loro ma in un modo che la loro posizione vari in manera costante. Per conoscere la pendenza di una retta, la si rappresenta su un piano cartesiano, un sistema di riferimento usato proprio per determinare la posizione dei punti e della distanza che c’è tra loro. Ogni punto ha una coordinata x, che indica la distanza orizzontale dall’origine degli assi cartesiani, e una coordina y che rappresenta la sua distanza verticale. La coordinate y, chiamata anche ordinata, varia in maniera proporzionale a quella di x, chiamata ascissa; questo significa che se l’ascissa raddoppia, triplica, o dimezza, lo fa anche l’ordinata. La formula di una retta sul piano cartesiano è:

y = mx + q

dove m è il coefficiente angolare della retta e ne rappresenta la sua pendenza; si ricava dal rapporto tra la differenza delle ordinate di due punti della retta e la differenza delle loro ascisse. La lettera q rappresenta la distanza verticale che tale retta ha rispetto all’origine degli assi cartesiani.

Anche il piano è un insieme di punti, in questo caso posti l’uno accanto all’altro in qualsiasi direzione. Lo si può immaginare come un foglio infinito, senza dimensioni, o l’area di lavoro di un programma di disegno tecnico o di geometria sul PC.

Tra tutti e tre gli enti primitivi, la retta è quella a cui possiamo dare una definizione più precisa anche se, in questo caso, ci avvaliamo di elementi di matematica e algebra per spiegare di cosa si tratta. Si precisa anche che questi enti non hanno dimensioni e che la retta e il piano sono infiniti; questo particolare è molto importante in quanto tutte le altre figure geometriche sono parti di retta o parti di un piano.

Per fare alcuni esempi, il segmento è una parte di retta delimitata da due punti che vengono definiti estremi del segmento; la semiretta è una parte di retta che parte da un punto detto origine e che continua all’infinito; un angolo è una parte di piano delimitata da due semirette. Notiamo così che tutte le figure geometriche sono legate in maniera diretta o indiretta agli enti primitivi.

Un altro ente primitivo è la linea. Anch’essa non ha definizione ma possiamo dire che si tratta di un segno lasciato su un foglio da una matita fino a quando non alziamo la punta. Qualsiasi linea che non sia una retta viene definita linea curva. Un ente che deriva dalla linea è l’arco, definito come un tratto di curva compreso tra due suoi punti.