Le equazioni lineari

Le equazioni lineari

Le equazioni lineari sono l’insieme delle uguaglianze tra espressioni algebriche dove l’incognita è sempre di primo grado, cioè è sempre una potenza elevata a uno. Vengono chiamate così per il fatto che nel piano cartesiano vengono rappresentate da delle rette.

Prima di spiegare meglio cosa sono e come si risolvono le equazioni lineari, facciamo una panoramica dei vari concetti espressi nell’introduzione.

Un’espressione algebrica è un insieme di operazioni matematiche da fare tra numeri e lettere. Alcuni esempi di espressioni letterali sono 3x + 4x – 5 oppure 3a2 ∙ 4b4. Le lettere rappresentano potenze di primo grado o superiore. Per sapere come si risolvono questo tipo di espressioni leggi questo articolo.

Le equazioni sono uguaglianze tra due espressioni algebriche o letterali. Per poterle risolvere è necessario trovare i valori giusti che sostituiti alle lettere rendono quell’uguaglianza vera. Per fare un facile esempio nell’equazione 2x + 5 = 9, la lettera x, chiamata anche incognita, ha valore 2. Infatti, 2 ∙ 2 + 5 = 4 + 5 = 9. Precisiamo che ogni volta che un numero è scritto accanto ad una lettera senza mostrato un segno di operazione viene sottinteso che siano legati dalla moltiplicazione. Puoi saperne di più leggendo qui.

Parliamo adesso del piano cartesiano. Questo è rappresentato da due rette che si intersecano e che sono perpendicolari tra loro creando così quatto quadranti o zone. La retta orizzontale viene chiamato asse delle ascisse e viene indicata con la lettera X mentre la retta verticale si chiama asse delle ordinate e viene indicata con la lettera Y. Il punto di intersezione tra i due assi viene e chiamato origine. Ogni punto che viene inserito nel piano cartesiano ha due coordinate x e y. Se si trova sopra l’origine il valore di y sarà positivo altrimenti sarà negativo mentre se si trova a destra dell’origine il valore di x sarà positivo, altrimenti sarà negativo. Per stabilire la distanza tra un punto dall’origine viene sempre inserito un segmento guida come unità di misura.

Nel video vengono riportati due esempi di correlazione tra equazione lineare e piano cartesiano. Nell’equazione 2x + 4 = 10, esiste soltanto un valore che rende vera questa uguaglianza, il numero 3. Poiché il valore di y è indifferente, il programma mostra una retta parallela all’asse delle ordinate che passa per il numero 3 delle ascisse.

Per quanto riguarda l’equazione 2x + y = 10, le incognite sono due permettendo di avere infinite soluzioni. Il programma calcola quali sono queste soluzioni e crea la retta che passa per tutti questi valori. Nel caso risolvessimo noi stessi questo esercizio, ci basterà trovare due coppie di valori, inserire i punti corrispondenti nel piano cartesiano e tracciare la retta che passa tra questi due punti. L’equazione viene chiamata anche espressione analitica della funzione lineare che permette di tracciare tale retta.

Risolvere le equazioni lineari

In questo contesto, una funzione lineare è la relazione che c’è tra la variabile x con la variabile y. Affinché l’equazione indicata sia vera è necessario che ad ogni valore di x corrisponda un solo valore di y. Per risolvere l’equazione lineare dobbiamo innanzitutto estrarre una delle due incognite. Vediamo i passaggi:

2x + y = 10 (isoliamo la y)

y = -2x + 10 (ricaviamo due valori di y in base a quelli di x)

y = -2 ∙ 0 + 10 = 0 + 10 = 10

y = -2 ∙ 1 + 10 = -2 + 10 = 8

A questo punto possiamo disegnare il nostro piano cartesiano e inserire i punti A (0;10) e B (1;8) e tracciare la retta. Da notare che se il valore di x aumenta, diminuisce quella di y:

y = -2 ∙ 7 + 10 = -14 + 10 = 14

La funzione lineare ci permette di capire la relazione effettiva tra le due incognite. In questo caso, possiamo notare che ogni volta che x aumenta di una unità, il valore di y diminuisce di due unità. Possiamo anche scrivere una tabella:

Valori di xValori di y
26
34
42
50
6-2
Valori delle due incognite per l’equazione lineare 2x + y = 10
/ 5
Grazie per aver votato!