L’equilibrio di un punto materiale

L’equilibrio di un punto materiale

La condizione di equilibrio per un punto materiale è che tutte le forze che agiscono su di esso si annullino, in quanto la risultante ricavata dalla somma di tutte le forze è pari a 0.

Lo scopo di conoscere questa condizione sta nel sapere se un corpo rimarrà fermo o si muoverà a motivo delle forze che gravano su tale corpo. E’ anche importante per sapere se una costruzione è in grado di durare a lungo o di resistere ai vari fenomeni sismici che ci sono nella zona in cui si troverà.

Il corpo interessato viene rappresentato da un punto materiale per semplicità, per avere l’idea delle forze che gravano e poterle calcolare. Nel caso che un corpo si trovi su un piano orizzontale, risulterà vincolato su quel piano e la forza peso non avrà alcun effetto. Sono necessarie altre forze, come quella del vento, per poterlo spostare.

Nel caso che un corpo sia su un piano inclinato, la reazione normale sarà perpendicolare al piano ma non sarà più in grado di annullare completamente la forza peso. Sul corpo agirà una forza parallela al piano che se è maggiore della forza di attrito del corpo riuscirà a spostarlo.

Calcolo dell’equilibrio di un punto materiale

equilibrio punto su piano

Per calcolare l’equilibrio di un punto materiale dobbiamo innanzitutto scomporre la forza peso nelle sue componenti perpendicolare e parallela al piano dov’è poggiato il corpo. Le congiungenti delle due rette formano i punti dove arrivano i vettori P e P. I due vettori formano due triangoli rettangoli con il vettore della forza peso.

Considerando il triangolo A’B’C’, possiamo ricavare i moduli dei due vettori semplicemente usando le formule goniometriche:

  • P = P ∙ cos α;
  • P = P ∙ sen α;

La reazione normale del corpo annulla la componente perpendicolare al piano della forza peso mentre soltanto la componente parallela al piano è più forte della forza di attrito il corpo si sposterà:

  • N = – P
  • Se P > Fs max il corpo si sposterà;
  • Se P ≤ Fs max il corpo non si sposterà.

Possiamo notare che se prendiamo il triangolo A’B’C’, lo capovolgiamo e lo ruotiamo, esso risulterà simile al triangolo ABC, la forma del piano, in quanto hanno gli angoli uguali:

  • α = α;
  • CAB = C’A’B’ = 90°
  • ABC = A’B’C’ perché sono la differenza di angoli congruenti:
    • 180° – (α + CAB);
    • 180° – (α + C’A’B’);

Chiamando l’ipotenusa del triangolo ABC con la lettera l, la base con la lettera b e l’altezza con il simbolo h, abbiamo le seguenti formule:

  • sen α = l/h;
  • cos α = l/b;

Possiamo, pertanto, ricavare i moduli delle componenti del vettore P senza dovere ricorrere alle funzioni seno e coseno, attuando le formule:

  • P = P ∙ cos α = P ∙ l/h
  • P = P ∙ sen α = P ∙ l/b

Dopo avere ricavato le componenti della forza peso e il modulo della forza vincolare, dobbiamo conoscere il coefficiente di attrito statico per determinare se il corpo si sposterà oppure no. La formula della forza di attrito statico è:

  • Fs max = ks ∙ N

A questo punto, possiamo fare le ultime considerazioni:

  • Se P > ks ∙ N il corpo si sposterà;
  • Se Pks ∙ N il corpo non si sposterà.