Gli insiemi

Gli insiemi sono raggruppamenti di oggetti, intesi come numeri, lettere, e qualsiasi altro tipo di categoria. Si può parlare di insieme degli animali, dei vestiti, dei laghi, dei paesi, e di qualsiasi altra cosa. Ciascun singolo oggetto dell’insieme viene chiamato elemento e gli appartiene.

Gli insiemi vengono indicati con una lettera maiuscola mentre i loro elementi con una lettera minuscola. Vengono usati anche dei simboli per indicare i legami che hanno degli elementi con specifici insiemi come anche che relazione c’è tra un insieme all’altro. Ad esempio, usiamo il simbolo per indicare che un elemento appartiene ad un certo insieme mentre usiamo per dire che non gli appartiene.

Un insieme può avere al suo interno altri raggruppamenti più piccoli di oggetti che hanno qualche cosa in comune. L’insieme delle automobili, ad esempio, può essere diviso in base alle loro ditte produttrici che, a loro volta, producono modelli diversi in base alla necessità delle persone. La stessa cosa vale per la telefonia mobile, dividendo gli smartphone per casa produttrice, oppure per fascia di prezzo.

Quando un insieme si trova all’interno di un altro viene usato il simbolo ⊆ e viene chiamato sottoinsieme di quello principale; il simbolo ⊈ indica che un insieme non è il sottoinsieme di un altro.

Per rappresentare gli insiemi possiamo specificare la proprietà caratteristica degli elementi di un determinato insieme, come abbiamo fatto sopra. Possiamo anche scrivere tutti gli elementi all’interno di due parentesi graffe e separare ciascun elemento all’altro con una virgola. L’insieme delle vocali dell’alfabeto può essere indicato così:

V = { a, e, i, o, u }

Infine, possiamo anche rappresentare un insieme graficamente tramite un diagramma di Eulero-Venn, inserendo gli elementi all’interno di una linea curva e chiusa.

diagramma di venn, insieme delle vocali

L’insieme delle vocali è un sottoinsieme delle lettere dell’alfabeto, perciò scriveremo V ⊆ A e nel diagramma di Venn l’insieme V verrà disegnato all’interno di un insieme più grande A.

Gli insiemi (genericamente chiamati A, B, C) si possono anche unire o intersecare. Nel primo caso, se uniamo due insiemi, il nuovo insieme conterrà tutti gli elementi di A e B e verrà chiamato A ⋃ B; se intersechiamo due insiemi, quello nuovo conterrà soltanto gli elementi che loro hanno in comune e verrà chiamato A ⋂ B. Se intersechiamo gli insiemi dei multipli di 2 {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} e quello dei multipli di 5 {0, 5, 10, 15, 20, 25}, il nuovo insieme A ⋂ B conterrà soltanto i multipli che hanno in comune {0, 10, 20}.

Può capitare che si parli anche di insiemi vuoti e indichiamo che non hanno elementi con il simbolo ∅. Quando due insiemi non hanno elementi in comune la loro intersezione darà un insieme vuoto, gli insiemi vengono detti disgiunti e scriviamo che A ⋂ B = ∅.