I valori delle funzioni seno e coseno possono essere rappresentati mediante un grafico. Questo ci permette di capire visivamente l’andamento che hanno questi valori.
Come spiegato in un articolo precedente, il seno e il coseno sono funzioni goniometriche e dipendono esclusivamente dall’ampiezza di un angolo senza dovere tenere conto di quanto sono lunghi i lati che lo comprendono. I loro valori sono, inoltre, compresi tra -1 e +1 e si ripetono periodicamente dopo avere superato i 360°, l’angolo giro.
Per costruire la rappresentazione grafica delle funzioni seno e coseno degli angoli compresi tra 0° e 360°, dobbiamo trovare e scrivere i loro valori, a intervalli regolari su una tabella. Possiamo farlo utilizzando una calcolatrice scientifica o servendoci di un file Excel.
Su Excel, dopo avere inserito su una colonna i valori degli angoli, bisogna inserire le formule affinché il programma trovi i valori delle funzioni seno e coseno; bisogna anche convertire gli angoli in radianti perché Excel opera su questa unità di misura. Dobbiamo, inoltre, cambiare il formato delle celle in modo che visualizzino fino alla settima cifra decimale.
Poniamo il caso che abbiamo inserito l’angolo 0 nella casella B5. Nella casella accanto riporteremo =SEN(RADIANTI(B5)) e in quella successiva =COS(RADIANTI(B5)).
| Angoli | Seno | Coseno | Angoli | Seno | Coseno |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0,0000000 | 1,0000000 | 195 | -0,2588190 | -0,9659258 |
| 15 | 0,2588190 | 0,9659258 | 210 | -0,5000000 | -0,8660254 |
| 30 | 0,5000000 | 0,8660254 | 225 | -0,7071068 | -0,7071068 |
| 45 | 0,7071068 | 0,7071068 | 240 | -0,8660254 | -0,5000000 |
| 60 | 0,8660254 | 0,5000000 | 255 | -0,9659258 | -0,2588190 |
| 75 | 0,9659258 | 0,2588190 | 270 | -1,0000000 | 0,0000000 |
| 90 | 1,0000000 | 0,0000000 | 285 | -0,9659258 | 0,2588190 |
| 105 | 0,9659258 | -0,2588190 | 300 | -0,8660254 | 0,5000000 |
| 120 | 0,8660254 | -0,5000000 | 315 | -0,7071068 | 0,7071068 |
| 135 | 0,7071068 | -0,7071068 | 330 | -0,5000000 | 0,8660254 |
| 150 | 0,5000000 | -0,8660254 | 345 | -0,2588190 | 0,9659258 |
| 165 | 0,2588190 | -0,9659258 | 360 | 0,0000000 | 1,0000000 |
| 180 | 0,0000000 | -1,0000000 |
Per costruire un grafico si riportano i valori degli angoli nell’asse delle ascisse e i valori del seno e del coseno nell’asse delle ordinate, dopo averne stabilito la scala. Usando Excel basta selezionare la tabella costruita e creare un grafico a linee, scegliendo il tipo più adatto a noi. Basta andare su Inserisci e scegliere il tipo di grafico. Trovi un esempio pratico nel video allegato più avanti.
Come possiamo vedere, i valori della funzione seno va da 0 per l’angolo 0° fino a 1 per l’angolo di 90°, per poi riscendere a 0 quando arriva a 180°, arrivando a -1 a 270° per poi tornare di nuovo a 0.
Per il coseno è il contrario: inizia ad avere valore 1, e scende a 0, con angolo di 90°, -1 a 180°, 0 a 270° e di nuovo 1 a 360°.
Vedi anche: I valori del seno e coseno in base agli angoli
E’ bene esercitarsi su Excel per prendere familiarità con questi tipi di esercizi. Di seguito vedremo come fare il grafico per altre tipi di funzioni. In matematica, una funzione si scrive così: y=f(α), dove la y è la variabile che dipende dall’angolo α. Così la funzione seno si scrive y = sen(α) mentre quella del coseno y = cos(α).
Grafico della funzione y= |sen(α)|
Le due sbarre inserite nella funzione y= |sen(α)| significa che in questo caso stiamo prendendo i valori assoluti della funzione seno, cioè non teniamo conto del segno. La tabella sarà molto simile a quella iniziale. Su Excel la formula sarà: =ASS(SEN(RADIANTI(B5))).
| Angoli | I Sen(α) I | Angoli | I Sen(α) I |
|---|---|---|---|
| 0 | 0,0000000 | 195 | 0,2588190 |
| 15 | 0,2588190 | 210 | 0,5000000 |
| 30 | 0,5000000 | 225 | 0,7071068 |
| 45 | 0,7071068 | 240 | 0,8660254 |
| 60 | 0,8660254 | 255 | 0,9659258 |
| 75 | 0,9659258 | 270 | 1,0000000 |
| 90 | 1,0000000 | 285 | 0,9659258 |
| 105 | 0,9659258 | 300 | 0,8660254 |
| 120 | 0,8660254 | 315 | 0,7071068 |
| 135 | 0,7071068 | 330 | 0,5000000 |
| 150 | 0,5000000 | 345 | 0,2588190 |
| 165 | 0,2588190 | 360 | 0,0000000 |
| 180 | 0,0000000 |
In questo caso i valori della funzione seno non scendono mai sotto l’1 come si notare anche dal grafico.
Rappresentazione grafica di y= -sen(α)
In questo caso con y= -sen(α), i valori che dovrebbero essere positivi sono, invece, negativi e viceversa. Il grafico quindi prima scende verso -1 e poi risalirà verso +1. Su Excel la formula da scrivere è molto semplice, basta aggiungere il segno -: =-SEN(RADIANTI(B5)).
| Angoli | -Sen(α) | Angoli | -Sen(α) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0,0000000 | 195 | 0,2588190 |
| 15 | -0,2588190 | 210 | 0,5000000 |
| 30 | -0,5000000 | 225 | 0,7071068 |
| 45 | -0,7071068 | 240 | 0,8660254 |
| 60 | -0,8660254 | 255 | 0,9659258 |
| 75 | -0,9659258 | 270 | 1,0000000 |
| 90 | -1,0000000 | 285 | 0,9659258 |
| 105 | -0,9659258 | 300 | 0,8660254 |
| 120 | -0,8660254 | 315 | 0,7071068 |
| 135 | -0,7071068 | 330 | 0,5000000 |
| 150 | -0,5000000 | 345 | 0,2588190 |
| 165 | -0,2588190 | 360 | 0,0000000 |
| 180 | 0,0000000 |
Altri grafici sulle funzioni seno e coseno
Quelli visto sopra sono alcuni esempi su come fare i grafici relativi i valori delle funzioni goniometriche. Vediamone brevemente altre.
y= 2sen(α)
Stavolta i valori del seno vengono raddoppiati e quindi la variabile y sarà compresa tra -2 e +2. Su Excel basterà aggiungere alla formula per ricavare il seno *2.
y= 2cos(α/2)
Nel caso della funzione y= 2cos(α/2) dobbiamo prima dimezzare l’angolo α, trovare il coseno e moltiplicarlo per 2. Sei in grado di ricavare la formula su Excel? Verso la fine dell’articolo trovi la soluzione.
y= cos(α-100c)
Stavolta dobbiamo prima togliere 100c, unità di misura centesimale che equivale a 90°, ad α e ricavarne il coseno. La formula su Excel sarà semplicemente =COS(RADIANTI(B5-90)).
Per risolvere questa funzione puoi vedere i procedimenti su Excel nel video sotto.
y= sen(α) + cos(α)
Con la formula y= sen(α) + cos(α) il grafico partirà da 1 a 0 gradi e arriverà a 1 a 360°. In quali angoli la somma del seno e del coseno avrà valore 0? E per quale motivo? Riguarda poi la prima tabelle con i valori delle funzioni goniometriche. Cosa noti?
| Angoli | sen(α) + cos(α) | Angoli | sen(α) + cos(α) |
|---|---|---|---|
| 0 | 1,0000000 | 195 | -1,2247449 |
| 15 | 1,2247449 | 210 | -1,3660254 |
| 30 | 1,3660254 | 225 | -1,4142136 |
| 45 | 1,4142136 | 240 | -1,3660254 |
| 60 | 1,3660254 | 255 | -1,2247449 |
| 75 | 1,2247449 | 270 | -1,0000000 |
| 90 | 1,0000000 | 285 | -0,7071068 |
| 105 | 0,7071068 | 300 | -0,3660254 |
| 120 | 0,3660254 | 315 | 0,0000000 |
| 135 | 0,0000000 | 330 | 0,3660254 |
| 150 | -0,3660254 | 345 | 0,7071068 |
| 165 | -0,7071068 | 360 | 1,0000000 |
| 180 | -1,0000000 |
Soluzione formula in Excel per y= 2cos(α/2): =2*COS(RADIANTI(B205/2))