I polinomi sono delle espressioni matematiche che consistono in somme algebriche tra monomi quando questi non hanno la stessa parte letterale e non possono sommare i loro coefficienti.
I monomi consistono nel prodotto tra numeri e lettere con il segno della moltiplicazione sottintesa. Quando in un monomio sono presenti soltanto un numero, chiamato coefficiente, e appaiono soltanto una volta ogni potenza di lettera di quel monomio con il relativo esponente viene detto che si trova nella sua forma ridotta. Ad esempio 3a5ab3 diventa 15a2b3.
Quando due o più monomi hanno la stessa parte letterale sono detti simili e la loro somma algebrica dà un altro monomio che ha la stessa parte letterale degli addendi ma come coefficiente la somma algebrica dei loro coefficienti. 5a + 2a = 7a; 3b – 2b = b; 4c – 8c = -4c.
Se due monomi non sono simili non è possibile sommare i loro coefficienti e avere un solo monomio. L’espressione della loro somma viene pertanto lasciato così come viene scritta e viene chiamata polinomio: 2a + b; 2ab + 3a. I monomi di cui è composto sono chiamati termini di quel polinomio.
I polinomi, come quelli sopra, sono ridotti in forma normale quando i monomi di cui sono composti sono scritti in forma normale e quando non ci sono monomi simili da sommare.
Un polinomio può essere anche chiamato:
- binomio se ha due termini: a + b, a2 + x;
- trinomio se è composto da tre termini: a + b + c;
- quadrinomio se è composto da quattro termini: a + b + c + d.
I coefficienti di un polinomio sono tutti i coefficienti dei monomi che lo compongono mentre quando un termine è composto soltanto da un numero senza parti letterali, questo viene chiamato termine noto. Nel polinomio ax + 3a + 2, 2 è il termine noto.
Due polinomi ridotti possono essere uguali se sono composti dagli stessi termini anche se in ordine diverso, come stabilito in base alla proprietà commutativa, oppure opposti se hanno gli stessi termini ma in segno opposto in modo da annullarsi.
Anche i polinomi hanno dei gradi: si parla di grado del polinomio rispetto a una lettera il massimo esponente di quella sua lettera; invece, grado maggiore di tutti viene chiamato grado del polinomio. In 3x2z3+ 3xy4, il suo grado è 4 mentre quello relativo alla lettera x è 2.
Operazioni con i polinomi
Le operazioni con i polinomi sono la somma algebrica e la moltiplicazione, sommando o moltiplicando i termini del primo polinomio con quelli del secondo. Applicando queste operazioni si possono risolvere le espressioni e i problemi dove ci sono dei polinomi.
La somma algebrica è un’operazione che riunisce a sé sia l’addizione che la sottrazione. Il metodo varia in base ai segni dei termini simili dei due polinomi: se hanno lo stesso segno basterà sommare i coefficienti e lasciare il segno degli addendi; se hanno segno diverso bisogna fare la differenza tra il coefficiente maggiore e quello minore e dare al nuovo termine lo stesso segno di quello che ha coefficiente maggiore. Maggiori dettagli si trovano su questo articolo.
(3x + 4y2) – (2x + 3y2 – 5z) = 3x + 4y2 – 2x – 3y2 + 5z = x + y2 + 5z
La moltiplicazione tra due polinomi consiste nel trovare il prodotto tra ciascun termine del primo polinomio con ciascun termine del secondo, seguendo la regola dei segni. Se i due termini hanno lo stesso segno, quello del prodotto sarà sempre positivo altrimenti, se hanno segno diverso, sarà negativo.
(2x + 3y) (4x – 2) = 8x2 – 4x + 12xy – 6y
La potenza di un polinomio consiste nell’elevare a potenza ciascuno dei suoi termini, seguendo le stesse regole che riguardano i monomi applicando la proprietà della potenza di una potenza. Per saperne di più vedi le proprietà delle potenze.
(4x + 2y2)3 = 16x2 + 4y6
I prodotti notevoli
Ci sono dei polinomi che hanno caratteristiche particolari soprattutto quando si moltiplicano tra di loro. Infatti, grazie ad alcune regole è possibile giungere subito al risultato senza dovere scrivere i vari passaggi e risolvere i polinomi.
Il quadrato di un binomio consiste nell’elevare al quadrato i due termini, sommarli tra loro e aggiungergli il loro doppio prodotto. La dimostrazione di quanto detto è scritto sotto:
(A + B)2 = (A + B)(A + B) = A2 + AB + AB + B2 = A2 + 2AB + B2
Abbiamo poi il prodotto tra la somma e la differenza di due termini di un polinomio. Anche in questo caso, è possibile arrivare subito al risultato che è la differenza tra il quadrato del primo con il quadrato del secondo termine del binomio.
(A + B)(A – B) = A2 – AB + AB – B2 = A2 – B2
Anche il cubo di un binomio è un prodotto notevole: basta sommare tra loro il cubo di ciascun termine, il triplo prodotto del quadrato del primo termine con il secondo e il triplo prodotto del primo termine con il quadrato del secondo.
(A + B)3 = (A + B)(A + B)2 =
(A + B) (A2 + 2AB + B2) =
A3 + 2A2B + AB2 + A2B + 2AB2 + B3 =
A3+ 3A2B + 3AB2 + B3
Infine, tra i prodotti notevoli c’è anche il quadrato di un trinomio, il quadrato della somma di tre termini di un polinomio. In questo caso il risultato sarà dato dalla somma dei quadrati dei tre termini e dei doppi prodotti di ogni termine con ciascuno degli altri.
(A + B + C)2 = (A + B + C) (A + B + C) =
A2 + AB + AC + B2 + AB + BC + C2 + AC + BC =
A2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2AC
