I quadrilateri sono delle figure piane formate da quattro lati e quattro angoli. Possono essere scomposti in vari triangoli permettendo di applicare le loro formule per potere ricavare i dati che non si conoscono. La somma dei loro angoli interni è di 360°.
A seconda delle loro proprietà, i quadrilateri possono avere nomi diversi:
- I parallelogrammi sono figure piane che hanno i lati a due a due paralleli e congruenti tra loro, cioè della stessa lunghezza come anche i loro angoli opposti;
- I rettangoli sono formati da quattro angoli retti, cioè ampi 90 gradi;
- I rombi sono parallelogrammi che hanno anche tutti i lati della stessa lunghezza. Le loro diagonali sono anche perpendicolari tra loro e ciascuna metà del rombo è un triangolo isoscele
- I quadrati hanno le stesse caratteristiche dei rettangoli e dei rombi: hanno tutti i lati della stessa misura e tutti gli angoli retti e sono i più facili da risolvere.
I quadrilateri che non rientrano in queste definizioni si possono definire generici e possono avere lati di misure diverse e non paralleli tra loro; di conseguenza, anche gli angoli possono avere ampiezze diverse ma la loro somma sarà sempre di 360 gradi.
Risolvere i problemi dei quadrilateri
Per potere risolvere i problemi con i poligoni piani, è necessario conoscere almeno la misura di alcuni elementi, tanto quanto la differenza tra il numero totale dei lati e degli angoli di quel poligono e tre elementi incogniti (2n – 3). Allo stesso modo, è necessario conoscere almeno la misura di un determinato numero di lati, tanto quanto la differenza tra il numero totale dei lati e due lati incogniti (n – 2).
Nel caso dei quadrilateri, il totale degli elementi è 8, quattro lati e quattro angoli. Pertanto è conoscere almeno 5 elementi (8 – 3), di cui due lati (4 – 2). I vertici di un quadrilatero vengono in genere nominati con le lettere dell’alfabeto A, B, C e D partendo dal vertice in basso a sinistra e procedendo in senso antiorario. In questo modo, il corrispondente angolo orientato seguirà la girerà in senso orario.
Per ricavare gli elementi sconosciuti di un quadrilatero è necessario scomporlo in triangoli, di solito tracciando una diagonale. Questo perché i triangoli godono di diverse formule che permettono di ricavare gli elementi incogniti anche se non si conoscono i valori dell’area e del perimetro. Queste formule si basano sulle funzioni goniometriche di cui si consiglia la consultazione. Riassumiamo sotto due teoremi molto utili per risolvere i triangoli qualsiasi.
Il teorema dei seni ci dice che il rapporto tra ciascun lato di un triangolo e il seno del suo angolo opposto è sempre uguale. Perciò, conoscendo la misura di due lati e di un angolo opposto ad uno dei due, oppure conoscendo la misura di due angoli e di un lato opposto ad uno di essi, è possibile ricavare gli elementi incogniti tramite le proporzioni.
Il teorema del coseno, o di Carnot, ci permette di ricavare la lunghezza di un lato quando conosciamo la misura degli altri due e l’ampiezza dell’angolo compreso tra di loro. Basta calcolare la radice quadrata della differenza tra i loro quadrati e il loro doppio prodotto con il coseno dell’angolo compreso.
a = √(b2 + c2 – 2bc cos α)
Conoscendo soltanto 3 elementi di un triangolo, possiamo calcolare i valori di tutti gli altri. Quando si scompone un quadrilatero che soddisfa le condizioni dette sopra, un triangolo è sempre immediatamente risolvibile mentre l’altro adiacente lo diventa grazie ai calcoli fatti con il primo. Vediamo ora i diversi casi che possiamo incontrare quando dobbiamo risolvere un quadrilatero.
Noti quattro lati e un angolo
In questo caso basta tracciare una diagonale per formare due triangoli nel quale uno contiene l’angolo che si conosce. A questo punto, grazie al teorema del coseno possiamo calcolare la misura della diagonale e poi l’ampiezza dell’angolo opposto a quello dato tramite la formula inversa, calcolando l’arcoseno del rapporto tra la somma dei quadrati dei lati adiacenti meno il quadrato del lato opposto e il doppio prodotto dei due lati adiacenti.
BD = √(AD2 + AB2 – 2AD ∙ BD ∙ cos α)
ABD = β1 = arccos [(AB2 + BD2 – AD2) / 2 AB ∙ BD]
ADB = δ1 = arccos [(AD2 + BD2 – AB2) / 2 AD ∙ BD]
DBC = β2 = arccos [(BC2 + BD2 – CD2)/ 2 BC ∙ BD]
BDC = δ2 = arccos [(CD2 + BD2 – BD2) / 2 CD ∙ BD]
β = β1 + β2; δ1 = δ1 + δ2
γ = arccos [(BC2 + CD2 – BD2) / 2 BC ∙ CD]
Ricaviamo tutti gli angoli dei due triangoli e li sommiamo con quello adiacente per conoscere la misura degli altri due angoli del quadrilatero.
Noti tre lati e due angoli
Ci sono essere diverse situazioni. I due angoli potrebbero essere compresi nei tre lati, possono essere uno opposto all’altro oppure potrebbero essere adiacenti al lato incognito.
In tutti questi casi, è possibile risolvere il problema grazie al teorema del coseno e dei seni ricavando tutti gli elementi incogniti dei due triangoli e ricavando anche la misura del lato incognito.
Nel caso in cui gli angoli siano adiacenti al lato di cui non si conosce la misura bisogna scomporlo in triangoli rettangoli oppure tracciare le perpendicolari da un vertice al prolungamento del lato opposto, in modo da formare dei triangoli rettangoli e un trapezio.
Nel caso gli angoli noti fossero adiacenti il lato incognito, soprattutto se è quello minore, può essere utile prolungare i lati del quadrilatero fino a congiungerli e formare un triangolo i cui vertici sono gli estremi di uno dei suoi lati e il punto di incontro del prolungamento degli altri due.
Dalla figura notiamo che è immediato ricavare l’ampiezza degli angoli del triangolo più piccolo. Basta infatti sottrarre 180 al corrispettivo angolo supplementare e ricavare l’angolo al vertice grazie agli altri due ricavati.
OCD = γ1 = 180° – γ
ODC = δ1 = 180° – δ
AOB = ω = 180° – (γ1 + δ1)
Applichiamo poi il teorema dei seni per ricavare i lati del triangolo minore e li sommiamo a quelli del quadrilatero per ricavare la lunghezza dei lati del triangolo maggiore.
CD : sen ω = OD : sen γ1 = OC : sen δ1
OB = OC + BC; OA = OD + AD
Con il teorema del coseno, possiamo adesso ricavare la lunghezza del quarto lato del quadrilatero e l’ampiezza degli angoli incogniti.
AB = √(AO2 + OB2 – 2 AO ∙ OB ∙ cos ω)
α = arccos [(AO2 + AB2 – OB2)/2 AO ∙ AB]
β = arccos [(OB2 + AB2 – OA2)/2 OB ∙ AB]
Noti due lati e tre angoli
In questo caso, è possibile ricavare subito il quarto angolo che è dato dalla differenza della somma degli angoli interni e la somma dei tre angoli: ad esempio, 360° – (α + β) = γ.
I lati noti possono essere consecutivi adiacenti oppure opposti. Nella prima situazione si può applicare il teorema di Carnot per ricavare la misura della diagonale e l’ampiezza degli angoli di un triangolo mediante la formula inversa. I dati incogniti del secondo triangolo sono facilmente deducibili dal teorema dei seni.
Nella seconda situazione si prolungano due lati di un quadrilatero come fatto sopra e si ricava l’angolo compreso dai prolungamenti ,indicato con la lettera ω, togliendo all’angolo piatto la somma degli altri due angoli: 180° – (α + β) = ω.
A questo punto si ricorre al teorema dei seni per ricavare la lunghezza dei lati del triangolo formato dal lato maggiore del quadrilatero con il punto di incontro dei prolungamenti e quella dei lati del triangolo formato dal punto di incontro con gli estremi del lato minore. La differenza tra lato maggiore e quello minore ci dà la lunghezza di ciascun lato del quadrilatero.
Per quanto riguarda gli angoli del triangolo più piccolo, non è necessario ricorrere a nessun teorema in quanto si possono ricavare dalla differenza tra l’angolo piatto e l’ampiezza del loro angolo adiacente.
L’area dei quadrilateri
Per ricavare la superficie di un quadrilatero basta fare la somma delle aree dei triangoli di cui è scomposto. Tuttavia, è possibile grazie a questo procedimento ricavare una formula che ci permette di calcolare il valore della sua area direttamente conoscendo le due diagonali e l’angolo che essi formano incontrandosi.
Come mostra la figura sopra, è possibile ricavare l’altezza di ciascun triangolo perché coincide con il cateto opposto all’angolo opposto al vertice di ciascun triangolo rettangolo formato con una parte della seconda diagonale. Pertanto, l’area di ciascun triangolo è uguale al semiprodotto tra una diagonale, un pezzo della seconda diagonale e il seno dell’angolo che essi formano.
L’area del quadrilatero è uguale alla somma delle superfici dei due triangoli. Se si fa la somma delle due formule, notiamo che possiamo raccogliere alcuni fattori comuni alle due espressioni applicando la proprietà distributiva della moltiplicazione. Ciò che rimane è la somma delle due parti della seconda diagonale. Per questo motivo, possiamo affermare che l’area dei quadrilateri è uguale al semiprodotto tra le diagonali e il seno dell’angolo che essi formano incontrandosi.
Per risolvere i problemi dei quadrilateri si può procedere in quest’ordine:
- Si colorano gli elementi conosciuti e si ricavano le formule di tutti gli elementi utili per risolvere il problema, magari segnando con un altro colore i lati e gli angoli ricavati;
- Si procede con i calcoli e si verifica che tutto è corretto.
