L’insieme delle parti

L’insieme delle parti

L’insieme delle parti rappresenta il raggruppamento di tutti i sottoinsiemi possibili di uno specifico insieme, specialmente se ha un numero finito di elementi. Per calcolare di quanti elementi è composto il nuovo insieme basta fare 2n, dove n rappresenta gli elementi dell’insieme iniziale.

Gli insiemi sono raggruppamenti di oggetti, intesi come numeri, lettere, e qualsiasi altro tipo di categoria. Ciascun singolo oggetto dell’insieme viene chiamato elemento e gli appartiene. Gli insiemi vengono indicati con una lettera maiuscola mentre i loro elementi con una lettera minuscola. 

Prendiamo come esempio un insieme A che ha come elementi le lettere a, b e c. Ci sono diversi modi per rappresentare un insieme e i suoi elementi ma in questo caso è utile inserire gli elementi all’interno di due parentesi graffe separati ciascuno da una virgola

A = { a, b, c, }

L’insieme delle parti di A è indicato con il simbolo P(A) è contiene i seguenti sottoinsiemi:

P(A) = { {a}, {b}, {c}, {ab}, {bc}, {ac} }

Per estensione viene detto che un insieme è sempre sottoinsieme di se stesso e che l’insieme vuoto, che non ha elementi, è un sottoinsieme di tutti gli insiemi.

P(A) = { A, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {a, c}, ∅ }

Se si contano tutti gli elementi dell’insieme delle parti di A si noterà che sono adesso 8, proprio come 23, dove 3 rappresenta il numero degli elementi dell’insieme A iniziale.

Se si vuole escludere l’insieme A e l’insieme vuoto dal raggruppamento, allora bisogna rimuoverli dalla formula generica che diventa 2n – 2.

Proviamo a fare l’insieme delle parti delle vocali: V = { a, e, i, o, u }. Ci sono in tutto 5 elementi, pertanto il raggruppamento finale avrà 25 = 32 elementi, se si considerano anche l’insieme vuoto e quello delle vocali.

P(V) = { V, {a}, {e}, {i}, {o}, {u}, {a, e}, {a, i}, {a, o}, {a, u}, {e, a}, {e, i}, {e, o}, {e, u}, {i, a}, {i, e}, {i, o}, {i, u}, {o, a}, {o, e}, {o, i}, {o, u}, {u, a}, {u, e}, {u, i}, {u, o}, ∅ }

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