Le equazioni

Le equazioni sono uguaglianze fra due espressioni letterali dove una o più lettere, chiamate incognite, hanno dei valori specifici che rendono vera un’uguaglianza. Vengono usate spesso per ricavare questi valori.

Un equazione viene scritta mettendo a confronto due espressioni letterali come 3x + 2 = 4x -1. In questo caso l’incognita da trovare e x, cioè il valore che sostituito a questa lettera fa avere lo stesso risultato sia all’espressione che si trova a sinistra sia all’espressione che si trova nella destra del segno di uguaglianza.

Esistono uguaglianze tra espressioni letterali che sono sempre vere a prescindere dal valore che viene attribuito alle lettere. Un esempio è il quadrato di un binomio la cui uguaglianza si può scrivere:

(A + B)(A + B) = A2 + 2AB + B2

Infatti, risolvendo l’espressione a sinistra si otterrà la stessa formula di quella a destra. Questo tipo di uguaglianza non viene chiamate equazione ma identità perché è valida sempre.

Classificazione delle equazioni

Le equazioni possono essere classificate in algebriche o trascendenti. Nel primo caso, nelle espressioni messe a confronto appaiono soltanto polinomi o frazioni algebriche. Inoltra, un’equazione algebrica può essere anche intera se le incognite sono al numeratore oppure fratta, o frazionaria, quando le incognite appaiono al denominatore.

Un’equazione può essere classificata anche in base alle lettere presenti. Nel caso in cui appaiono soltanto le incognite come lettere, allora l’equazione viene chiamata numerica. Se oltre alle incognite ci sono altri tipi di lettere, l’equazione viene chiamata letterale e le lettere sono dette parametri.

  • 3x – 4 = x è numerica;
  • 9x + a = 5a è letterale nell’incognita x se a è un parametro.

Nei problemi di geometria i valori che abbiamo già a disposizione sono i parametri mentre il valore da ricavare è l’incognita. Se di un rettangolo conosciamo l’area e l’altezza e dobbiamo ricavare la base, le prime due grandezze sono i parametri e la base è l’incognita. A = x ∙ h, dove x = b.

Infine, le equazioni possono essere classificate in base al numero di soluzioni. Se questa hanno un numero finito l’equazione si dice determinata, se hanno un numero infinito di valori che rendono l’uguaglianza vera l’equazione è indeterminata mentre se non ci sono soluzioni viene chiamata impossibile.

  • 4x + 3x = 7x è indeterminata perché è vera a prescindere dal valore di x ed è anche un’identità.

Princìpi di equivalenza

Due equazioni con le stesse incognite che hanno le medesime soluzioni sono dette equivalenti come ad esempio x + 4 = 7 e 3x = 9.

  • x = 7 – 4 = 3
  • x = 9/3 = 3

Possiamo passare da un’equazione complessa ad una equivalente più semplice applicando i princìpi di equivalenza che si basano sulle leggi delle uguaglianze fra numeri.

Il primo principio di equivalenza stabilisce se aggiungiamo o togliamo a entrambi i membri di un’equazione uno stesso termine otteniamo un’equazione equivalente.

Spesso è utile per fare in modo di non avere incognite nel membro dell’equazione a destra, come nell’esempio sotto:

3x + 4 = 4x + 2

3x + 4 – 4x = 4x + 2 – 4x

3x + 4 – 4x = 2

Come possiamo vedere, l’incognita a destra si annulla con il suo opposto, dato che 4x – 4x = 0. E’ come se avessimo spostato il monomio con l’incognita nell’espressione a sinistra e lo avessimo cambiato di segno. Facendo la somma algebrica anche a sinistra avremo:

3x + 4 – 4x = 2

– x + 4 = 2

Adesso, però, x è negativo. Come facciamo a risolvere l’espressione? Applicando il secondo principio di equivalenza secondo cui se moltiplichiamo o dividiamo entrambi i membri di un’equazione per uno stesso numero o espressione letterale otteniamo un suo equivalente.

In questo caso moltiplichiamo tutti i membri con -1.

-1 (- x + 4) = -1 ∙ 2

x – 4 = – 2

Nel primo membro abbiamo moltiplicato -1 con ogni termine dell’espressione proprio come stabilito dalla proprietà distributiva. Abbiamo anche applicato la regola dei segni: il prodotto tra due segni uguali è sempre di segno positivo mentre da due segni diversi è sempre negativo.

Per continuare, applichiamo di nuovo il primo principio di equivalenza e spostiamo -4 a destra cambiandolo di segno. Questo passaggio viene chiamato regola del trasporto.

x – 4 = – 2

x = – 2 + 4

x = 2