Le funzioni

Le funzioni

Le funzioni sono relazioni tra due insiemi dove a ogni elemento del primo insieme corrisponde un solo elemento del secondo. Vengono usate spesso in matematica e in fisica per risolvere problemi e ricavare formule.

Un insieme viene inteso come un raggruppamento di numeri, lettere, oggetti, luoghi o altre cose che sono accomunate da qualche tipo di proprietà, avvenimento o condizione.

Una relazione tra due insiemi è, invece, una proprietà o caratteristica che lega gli elementi del primo con il secondo o che lega entrambi. Nel primo caso si parla di relazione d’ordine e succede nel caso che un elemento è maggiore di un altro o è una sua potenza numerica. Nel secondo caso si parla di relazione di equivalenza perché è una proprietà biunivoca: ad esempio, se gli elementi dei due insiemi hanno gli stessi valori.

Indipendentemente dal tipo di relazione, se ad ogni elemento del primo insieme corrisponde soltanto un elemento del secondo abbiamo una funzione.

Funzioni e matematica

Quando abbiamo a che fare con i problemi di geometria, stiamo usando delle funzioni per poterle risolvere.

Ad esempio, se vogliamo ricavare l’area di un quadrato sappiamo che dobbiamo trovare il prodotto tra due suoi lati. Dato che hanno la stessa lunghezza, la formula sarà:

A = l2

Questa è in effetti una funzione dove A e l sono i due insiemi. I lati del quadrato sono raggruppati nel primo insieme e possono avere molte lunghezze diverse; il secondo insieme è rappresentato dall’area del quadrato che dipende sempre dalla lunghezza del suo lato. Ogni elemento di l è in relazione soltanto con un elemento di A.

Anche i polinomi sono delle funzioni: infatti modificando il valore dell’incognita, varia anche il risultato dell’espressione algebrica di cui è composto. Quando due polinomi che sembrano essere diversi, hanno risultati uguali per ogni valore attribuito all’incognita sono uguali.

Le funzioni possono essere combinate assieme, per esempio quando facciamo il doppio prodotto della somma di due numeri. In questo caso abbiamo due funzioni: la prima è la somma di due numeri mentre la seconda è il doppio prodotto di quella somma. Si parla, in questo caso, di funzione composta.

Come si rappresenta una funzione

Le funzioni possono essere rappresentate su un piano cartesiano. Questi è formato dall’incontro di due rette perpendicolari, una orizzontale chiamata asse delle ascisse con simbolo x e una verticale chiamata asse delle ordinate con simbolo y. Le due rette sono orientate verso destra e verso l’alto mentre il loro punto di incontro viene chiamato origine e ha valore 0.

Viene anche fissata un’unità di misura, pertanto le due rette vengono usate come due linee dei numeri. A destra e sopra l’origine vengono inseriti numeri positivi mentre a sinistra e sotto il punto di incontro degli assi vengono scritti numeri negativi.

Nell’asse delle ascisse vengono inseriti tutti i valori del primo insieme mentre nell’asse delle ordinate tutti i valori del secondo insieme che corrispondono ai risultati della funzione considerata. Questi due valori x e y sono le coordinate del punto della loro intersezione; l’insieme dei punti forma il grafico della funzione.

grafico funzione, piano cartesiano
Grafico della funzione y = x2. Uno stesso numero con segno diverso elevato al quadrato ha lo stesso risultato

Quando una funzione è una potenza al quadrato, il suo grafico sarà sempre una parabola rivolta verso l’alto. Aumentando la variabile indipendente, quella che noi usiamo per risolvere la funzione, aumenterà anche il valore del secondo elemento, non a caso ma sempre nello stesso modo.

In questo caso, raddoppiando il primo elemento il secondo quadruplica, se il primo viene triplicato il secondo elemento aumenterà di nove volte. Questo tipo di relazione viene chiamato proporzionalità quadratica ma ce ne sono anche altre, come quella diretta e quella inversa, ciascuna con un grafico specifico.

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