Matematica per la prima superiore

I numeri naturali sono i primi numeri con cui veniamo in contatto nella vita quotidiana e i primi che si studiano a scuola; comprendono tutti quelli che partono dallo 0 in poi. I numeri naturali sono quelli che ci permettono di contare gli oggetti; non includono perciò i numeri negativi, quelli con la virgola che […]

L’addizione è un operazione matematica che consiste nel trovare la somma di due o più numeri. E’ anche la prima operazione che si impara a scuola. Sommare due numeri significa trovare il loro numero totale. Se, ad esempio, abbiamo 2 penne in un astuccio e 3 penne in un altro, abbiamo in totale 5 penne. […]

La sottrazione è un operazione matematica che consiste nel trovare la differenza di due o più numeri. Sottrare due numeri significa togliere al numero iniziale quello finale. Se, ad esempio, abbiamo 5 penne in un astuccio e ne prendiamo 3 per scrivere, dentro l’astuccio ne rimarranno 2. L’operazione della sottrazione si scrive in questo modo: 5 […]

La moltiplicazione è un’operazione matematica che ci permette di semplificare le addizioni. Poniamo il caso di volere sapere quanto guadagniamo in un anno e abbiamo lo stipendio mensile fisso di € 1200. Dato che in un anno abbiamo 12 mesi, dovremmo fare 1200 + 1200 per 12 volte. La moltiplicazione ci permette di semplificare l’operazione […]

La divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione. Fare la divisione tra due numeri consiste nel trovare quel numero che moltiplicato al secondo dia come prodotto il primo. In simboli si esprime così: a : b = q a viene chiamato dividendo mentre b è il divisore; q è il quoziente cioè quel numero che moltiplicato […]

Le proprietà delle potenze servono a semplificare le operazioni algebriche e matematiche che coinvolgono le potenze. Sono essenziali per risolvere espressioni, equazioni e disequazioni ad esempio. Le potenze sono moltiplicazioni ripetute di uno stesso numero (chiamato base). Poniamo il caso che dobbiamo moltiplicare il numero 2 sei volte: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 […]

Le espressioni matematiche sono un’insieme di operazioni con i numeri naturali collegate tra loro. Possono essere la somma, la differenza, la moltiplicazione, la divisione, la potenza o una combinazione di queste tra tre o più numeri. Per esempio: 2 + 3 + 5 = 5 x 4 – 3 = 20 : 5 + 22 […]

Il Massimo Comune Divisore, chiamato anche M.C.D. consiste nel trovare il più grande numero che divide due o più numeri. Questa operazione permette di semplificare calcoli ed espressioni complesse. Quando dobbiamo trovare il Massimo Comune Divisore dobbiamo innanzitutto scomporre i due numeri in fattori e trovare ricavare quelli che hanno in comune. Vogliamo trovare il […]

Il minimo comune multiplo (mcm) tra due o più numeri è il numero più piccolo divisibile per entrambi i numeri. Una situazione in cui è importante saperlo calcolare è quando lavoriamo con le frazioni. Per esempio, il numero 6 è il mcm di 2 e 3 perché il più piccolo multiplo che hanno in comune. […]

I numeri interi sono considerati tutti i numeri che non hanno la virgola e include i numeri naturali, i numeri negativi e lo zero. Il loro insieme viene indicato con il simbolo Z. I numeri naturali sono quelli che usiamo comunemente e che partono da 1. Nel nuovo insieme vengono scritti con il segno + […]

La somma algebrica è un’operazione matematica tra numeri interi, tra lettere o tra numeri interi e lettere e che racchiude in sé stessa sia l’operazione di addizione che quella della sottrazione. I numeri interi sono tutti i numeri costituiti da un segno, positivo (+) o negativo (-), e da un valore numerico, chiamato valore assoluto. […]

Le frazioni sono un altro modo per rappresentare una divisione. Ad esempio, 2:3 si può scrivere anche come 2/3 o . Vengono usate per esprimere il rapporto tra due quantità o quando si divide un oggetto intero. Poniamo il caso che stiamo dividendo una torta in 8 parti e ne mangiamo 2. Sotto forma di […]

Le addizioni tra frazioni non sono difficili. In sostanza si fanno in due modi diversi, a seconda se le frazioni hanno lo stesso denominatore o no. Ricordiamo che una frazione è un altro modo di scrivere una divisione. Ad esempio, 5:3 si può scrivere anche 5/3. Quando si hanno delle frazioni con lo stesso denominatore, […]

Le sottrazioni tra frazioni seguono le stesse regole dell’addizione. In sostanza si fa in due modi diversi, a seconda se le frazioni hanno lo stesso denominatore o no. Le frazioni sono un altro modo di scrivere le divisioni. Ad esempio, invece di scrivere 6:2 scriveremo 6/2. Sottrazione tra frazioni con lo stesso denominatore Quando si […]

La moltiplicazione tra due o più frazioni consiste nel moltiplicare i loro numeratori e i loro denominatori. Ecco un esempio: Dopo avere trovato il risultato, è possibile semplificare la frazione. Sia il numeratore che il denominatore sono entrambi divisibili per 5. Riduciamo così la frazione ai minimi termini. La semplificazione Quando i termini di una […]

Le divisioni tra frazioni sono molto semplici. Basta moltiplicare la prima frazione per l’inverso della seconda: Basterà poi seguire i passaggi della moltiplicazione tra frazioni: Se ci sono più frazioni da dividere dovremo ripetere lo stesso metodo Dimostrazione delle divisioni tra frazioni Ma per quale motivo basta sostituire la divisione con la moltiplicazione? Proviamo a […]

Le potenze di frazioni consistono nella moltiplicazione ripetuta di una stessa frazione. In generale, sia il numeratore che il denominatore vengono elevati alla medesima potenza, indicata da un esponente accanto alle parentesi che contengono la frazione considerata. Per questo motivo, l’intera frazione viene considerata come la base della potenza. Il risultato di questa potenza darà […]

I numeri decimali sono tutti i numeri che hanno delle cifre decimali, cioè cifre minori di 1 che seguono il numero intero dopo la virgola. Sono quindi composti da una parte intera che viene prima della virgola e da una parte decimale. Un numero decimale si chiama finito (come 2,16) quando è formato da un […]

Le proporzioni sono l’uguaglianza tra due rapporti, divisioni o frazioni equivalenti, cioè quelli che hanno il quoziente o risultato uguale. Si scrivono in questo modo a : b = c : d. Ciascuna variabile è un termine della proporzione di cui: a e c sono gli antecedenti mentre b e d sono chiamati conseguenti; a e d, i termini iniziali sono anche chiamati estremi mentre b e c, i termini centrali sono detti medi. Se i risultati delle due divisioni […]

Le proprietà delle proporzioni indicano che facendo alcuni cambiamenti agli estremi o ai medi di una proporzione si otterrà comunque un’altra proporzione. Queste proprietà ci permettono di risolvere alcuni tipi di problemi. Una proporzione è un’uguaglianza fra due rapporti e si scrive in questo modo: a : b = c : d Dove: a, b, […]

I numeri reali rappresentano l’insieme di tutti i numeri con cui ci troviamo ad operare e comprende l’insieme dei numeri razionali e di quelli irrazionali. Il primo insieme di numeri che iniziamo a conoscere è quello dei numeri naturali, che sono senza virgola e senza segno come 0, 1, 2, 3, 100, 1245… Dopodiché impariamo […]

La notazione scientifica (chiamata anche notazione esponenziale) è un modo semplice per scrivere dei numeri molto lunghi. Spesso è usato in fisica, in scienze o in altre materie dove si ha a che fare con misure molto piccole (immaginiamo dovere dare le dimensioni di una cellula) o molto grandi (la distanza tra la Terra e […]

Gli insiemi sono raggruppamenti di oggetti, intesi come numeri, lettere, e qualsiasi altro tipo di categoria. Si può parlare di insieme degli animali, dei vestiti, dei laghi, dei paesi, e di qualsiasi altra cosa. Ciascun singolo oggetto dell’insieme viene chiamato elemento e gli appartiene. Gli insiemi vengono indicati con una lettera maiuscola mentre i loro […]

I connettivi logici sono i simboli delle operazioni fatte nell’ambito della matematica e della logica riguardo due affermazioni che possiamo dire con certezza se sono vere oppure false. Nell’ambito della matematica, una frase oggettiva, cioè che chiunque può affermare che sia vera o falsa, viene chiamato enunciato logico, oppure proposizione. Pertanto, i connettivi logici mettono […]

L’unione di due o più insiemi è un nuovo insieme che contiene gli elementi di tutti gli insiemi che sono stati uniti. Un insieme è un raggruppamenti di oggetti, intesi come numeri, lettere, o qualsiasi altro tipo di categoria. Ciascun singolo oggetto dell’insieme viene chiamato elemento e gli appartiene. Gli insiemi vengono indicati con una lettera maiuscola […]

L’insieme delle parti rappresenta il raggruppamento di tutti i sottoinsiemi possibili di uno specifico insieme, specialmente se ha un numero finito di elementi. Per calcolare di quanti elementi è composto il nuovo insieme basta fare 2n, dove n rappresenta gli elementi dell’insieme iniziale. Gli insiemi sono raggruppamenti di oggetti, intesi come numeri, lettere, e qualsiasi altro tipo […]

Le relazioni nell’ambito della matematica sono delle proprietà che associano gli elementi di un insieme, chiamato di partenza, con quelli di un altro definiti di arrivo. Un insieme è un raggruppamento di numeri, lettere o qualsiasi altra cosa come oggetti, luoghi, paesi e così via che prendono il nome di oggetti. Ciascun oggetto preso singolarmente […]

Le proprietà delle relazioni sono caratteristiche e regole riguardanti le relazioni tra elementi di uno stesso insieme i quali possono avere funzioni diverse. Gli insiemi sono raggruppamenti di oggetti che possono essere numeri, lettere, luoghi, o qualsiasi altra cosa. Ciascun oggetto preso singolarmente viene chiamato elemento di quell’insieme. Si usano le lettere maiuscole per nominare […]

Le relazioni di equivalenza si hanno quando gli elementi di un insieme sono in relazione con se stessi e godono della stessa relazione gli uni con gli altri. Gli insiemi sono raggruppamenti di oggetti che possono essere numeri, lettere, luoghi, o qualsiasi altra cosa. Ciascun oggetto preso singolarmente viene chiamato elemento di quell’insieme. Si usano le […]

Le espressioni algebriche (chiamate anche espressioni letterali) sono delle espressioni in cui compaiono sia numeri che lettere legati da segni di operazioni matematiche. Questa è la loro definizione Un esempio di espressione algebrica è 2 + 4a – 5b oppure 2x + 4x – 5y – 7a. Perché in alcune espressioni vengono inserite delle lettere? […]

Le frazioni algebriche sono delle divisioni che non hanno come risultato un numero intero dove al denominatore, o al divisore, c’è sempre almeno un’operazione algebrica dove figurano una o più lettere. Alcuni esempi sono 2/a oppure (5 + x) / (4 – y). Dato che le frazioni sono divisioni, è chiaro che ci sono situazioni […]

I monomi sono delle espressioni matematiche algebriche dove numeri e lettere sono legate soltanto dalla moltiplicazione. Sono anche la forma più semplice delle espressioni letterali. Gli elementi di un monomio si possono definire fattori, perché sono tutti termini di una moltiplicazione. Possono anche esserci delle potenze, ecco alcuni esempi: 2×2 ; 3ab3c2. Un monomio può […]

Il grado complessivo di un monomio è la somma degli esponenti delle varie lettere che lo compongono. Per potere calcolare il grado complessivo di un monomio bisogna prima di tutto ridurlo a forma normale, cioè deve esserci un unico coefficiente numerico e soltanto potenze letterali che hanno basi diverse. Per esempio 5a ∙ 2b ∙ […]

L’addizione tra monomi consiste nel trovare la somma dei coefficienti di monomi simili, lasciando la parte letterale invariata. Questo è possibile grazie all’applicazione della proprietà distributiva della moltiplicazione. Riassumendo, i monomi sono delle espressioni matematiche formate dal prodotto di numeri legati a potenze di lettere aventi come esponenti soltanto numeri naturali, come 2 ∙ x2 o […]

La sottrazione tra monomi funziona allo stesso modo di quello dei numeri interi e consiste nel fare la somma tra il primo monomio e l’opposto del secondo e soltanto quando questi hanno la stessa parte letterale. I monomi sono delle espressioni matematiche dove dei numeri sono legati a potenze di lettere soltanto dalla moltiplicazione. In genere, […]

La somma algebrica di monomi può avvenire soltanto quando questi sono simili, cioè hanno la stessa parte letterale, e consiste nel fare l’addizione e la sottrazione tra i vari monomi. I monomi sono delle espressioni matematiche dove dei numeri sono legate a potenze di lettere soltanto dalla moltiplicazione. In genere, per comodità il segno della […]

La moltiplicazione di monomi dà come risultato un altro monomio che ha come parte numerica il prodotto dei coefficienti di tutti i fattori mentre nella parte letterale il prodotto delle loro lettere. In questo caso, facciamo sempre due tipi di moltiplicazione. Quella relativa ai numeri e la proprietà delle potenze che hanno la stessa base, […]

La divisione tra monomi consiste nel trovare il quoziente tra la loro parte numerica e il quoziente tra le loro potenze letterali. Pertanto, faremo due tipi di divisione: quella matematica dato che nella parte numerica, chiamata coefficiente, possono esserci numeri o frazioni, e la divisione di potenze che hanno la stessa base. Un monomio è semplicemente […]

La potenza di un monomio consiste nell’elevare a potenza il suo coefficiente e la sua parte letterale. Dato che il coefficiente è sempre un numero, è facile calcolare la sua potenza; riguardo le lettere del monomio per trovare il loro nuovo esponente si applica la potenza di potenza. Un monomio è già un prodotto tra […]

Il massimo comune divisore (abbreviato in MCD) tra due o più monomi è il monomio che ha il grado massimo possibile e che è divisibile con tutti loro. Un monomio è una moltiplicazione tra un numero, detto coefficiente, e una o più potenze di lettere che costituiscono la parte letterale. Il grado di un monomio […]

Il minimo comune multiplo (abbreviato in mcm) tra due o più monomi è il monomio che ha il grado minimo possibile e che è divisibile con tutti loro. Un monomio è una moltiplicazione tra un numero, detto coefficiente, e una o più potenze di lettere che costituiscono la parte letterale. Il grado di un monomio rispetto a una sue […]

I polinomi sono espressioni algebriche letterali dove appaiono più monomi legati da una somma algebrica. Alcuni esempi di polinomi sono: 2x+a; 3-a+2b; a2+b+c3. I polinomi possono anche avere come coefficienti i numeri decimali e le frazioni. Un polinomio può avere monomi simili come 3x + 4a + 5x. Il polinomio si dice ridotto a forma […]

L’addizione tra polinomi, più correttamente detta somma algebrica, consiste nel sommare o sottrarre i termini del primo polinomio con i termini del secondo. Segue le stesse regole della somma tra numeri interi e dell’addizione tra monomi simili. I polinomi sono già delle somme algebriche e uniscono con i segni + o – dei monomi che […]

La moltiplicazione tra polinomi consiste nel trovare il prodotto tra ciascun termine del primo polinomio con ogni termine del secondo. Il risultato sarà la somma algebrica tra tutti i nuovi monomi ottenuti che formano il nuovo polinomio. I polinomi sono delle espressioni matematiche che consistono in somme algebriche tra monomi quando questi non hanno la stessa […]

La divisione tra un polinomio e un monomio consiste nel dividere ciascun termine del polinomio per lo stesso monomio rispettando la regola dei segni. Questo è possibile soltanto quando il monomio è il divisore. Un monomio è un’espressione matematica composta dal prodotto tra numeri e lettere dove il segno della moltiplicazione è sottinteso. Alcuni esempi […]

La regola di Ruffini è un metodo che permette di fare la divisione tra i polinomi in modo molto più semplice e rapido rispetto alle divisioni in colonna. Consiste nel lavorare soltanto sui coefficienti numerici dei vari termini e di inserire le potenze di lettere soltanto alla fine. I polinomi sono delle espressioni algebriche composti […]

Il teorema di Ruffini dice che un polinomio è divisibile per un binomio del tipo x – a soltanto se scambiando la sua incognita con l’opposto del termine noto del divisore viene annullato. I polinomi sono delle somme algebriche di più espressioni formate dal prodotto di numeri e lettere che non sono simili. Alcune divisioni tra […]

La scomposizione di polinomi consiste nel riscrivere un polinomio in un prodotto di polinomi di grado inferiore allo scopo di semplificare le operazioni algebriche da eseguire nelle espressioni. E’ possibile scomporre un polinomio raccogliendo i fattori comuni dei suoi termini, applicando al contrario le regole dei prodotti notevoli oppure tramite il metodo di Ruffini. I […]

I prodotti notevoli sono i risultati di moltiplicazioni particolari tra polinomi dove è possibile saltare i diversi passaggi grazie all’applicazione di alcune regole. In questo modo si è in grado di scrivere il risultato in maniera immediata. I polinomi sono delle somme algebriche tra due o più monomi, chiamati termini del polinomio e composti dal […]

Le equazioni sono uguaglianze fra due espressioni letterali dove una o più lettere, chiamate incognite, hanno dei valori specifici che rendono vera un’uguaglianza. Vengono usate spesso per ricavare questi valori. Un equazione viene scritta mettendo a confronto due espressioni letterali come 3x + 2 = 4x -1. In questo caso l’incognita da trovare e x, […]

Il primo principio di equivalenza è uno dei due principi che ci permettono di risolvere le equazioni e stabilisce se aggiungiamo o togliamo ad entrambi i membri di un’equazione lo stesso numero o la stessa espressione letterale otteniamo un’equazione equivalente, cioè un’altra equazione dove l’incognita ha lo stesso valore della prima. Da questo principio derivano […]

Il secondo principio di equivalenza è uno dei due principi che ci permettono di risolvere le equazioni e stabilisce se moltiplichiamo o dividiamo entrambi i membri di un’equazione con uno stesso numero o con una stessa espressione letterale otteniamo un’equazione equivalente, cioè un’altra equazione dove l’incognita ha lo stesso valore della prima. Da questo principio deriva la […]

Le equazioni fratte sono delle uguaglianze tra due espressioni algebriche dove almeno una di loro contiene una frazione con l’incognita al denominatore. Alcuni esempi sono 2/x = 3/x oppure 5 / (x + 1) = x. Quando si ha un’equazione, bisogna verificare che il risultato dell’espressione a sinistra sia uguale a quella a destra. Per […]

Le disequazioni sono disuguaglianze tra due espressioni letterali dove bisogna trovare i valori che, se sostituiti a una o più lettere definite incognite, le rendono vere. A differenza delle equazioni, il cui simbolo che mette in relazione due espressioni è sempre =, si possono usare diversi simboli: < o > che stanno per “minore di” […]

Le funzioni sono relazioni tra due insiemi dove a ogni elemento del primo insieme corrisponde un solo elemento del secondo. Vengono usate spesso in matematica e in fisica per risolvere problemi e ricavare formule. Un insieme viene inteso come un raggruppamento di numeri, lettere, oggetti, luoghi o altre cose che sono accomunate da qualche tipo […]

La proporzionalità diretta si ha quando due grandezze variano in modo tale che il loro rapporto rimanga costante, sia sempre uguale. Questo significa che se la prima variabile aumenta anche la seconda aumenta allo stesso modo. Una proporzionalità sottintende sempre un qualche tipo di relazione tra due grandezze o due variabili. In questo caso, tutte […]

La proporzionalità inversa avviene quando il prodotto tra due grandezze è sempre uguale, rimane costante. Questo significa che se una delle due aumenta, l’altra deve diminuire allo stesso modo affinché il loro prodotto non aumenti. Una proporzionalità sottintende sempre un qualche tipo di relazione tra due grandezze o due variabili. In questo caso, se la prima raddoppia […]

La proporzionalità quadratica tra due grandezze si ha quando il rapporto tra la seconda grandezza e il quadrato della prima è sempre costante, non cambia. Quando due grandezza variano tra loro in modo che il loro prodotto o il loro rapporto è sempre uguale si parla di proporzionalità. Il valore che non cambia viene chiamato […]

Le funzioni goniometriche sono dei valori che dipendono unicamente dall’ampiezza dei rispettivi angoli. Queste funzioni vengono chiamate seno, coseno, tangente e cotangente e rimangono costanti per ogni angolo. Per studiare gli angoli ci si avvale di quello che oggi viene chiamata circonferenza goniometrica. Si costruisce un piano cartesiano formato da due rette perpendicolari la cui […]