Il metodo di Ruffini

Il metodo di Ruffini viene usato per scomporre in fattori un polinomio e consiste nel trovare il suo divisore ricavando il termine noto che lo annulla e poi fare la divisione per ricavarne il quoziente. Alla fine il polinomio verrà scomposto nel prodotto tra uno dei suoi divisori e il quoziente.

Proprio come un numero può essere divisibile per uno o più numeri, lo stesso vale anche per un polinomio, una somma algebrica di prodotti tra numeri e lettere la cui parte letterale non è uguale. Ovviamente, proprio come nel caso dei numeri, ci sono polinomi che non sono divisibili per nessun altro polinomio.

Quando si ha a che fare con i prodotti notevoli, per scomporre il polinomio basta fare il procedimento inverso alla regola data. Ad esempio, 4a2 – 25 è il risultato del prodotto tra la somma e la differenza di due termini e possiamo scomporlo in (2a + 5) (2a – 5).

Il metodo di Ruffini viene usato quando il polinomio in questione non è il risultato di prodotti notevoli e non ha fattori comuni in tutti i suoi termini da potere raccogliere.

Scomposizione di un polinomio tramite il metodo di Ruffini

Il metodo di Ruffini si basa sul teorema che prende il suo nome secondo cui un polinomio è divisibile per un binomio del tipo x – a nel caso che sostituendo l’incognita con il valore opposto al termine noto del divisore il polinomio da dividere viene annullato.

Questo perché quando un polinomio viene diviso per questo tipo di binomio, la somma algebrica tra i suoi termini, quando nell’incognita c’è il valore opposto del termine noto di x -a, equivale al resto della loro divisione. Quindi quando la somma dei termini del polinomio è 0, lo è anche il resto della loro divisione e quindi il polinomio è divisibile per quel binomio. Nelle formule generiche sotto, il polinomio da scomporre viene chiamato P.

P : (x – a) = Q + R

P = (x – a) ∙ Q + R

P(a) = (a – a) ∙ Q + R

P(a) = 0 ∙ Q + R

P(a) = R

Proviamo a scomporre 7x2 + 4x – 3. Innanzitutto bisogna trovare quel numero che sostituito alla x rende nullo il polinomio cioè fa in modo che la somma tra tutti i suoi termini sia 0. Per questo motivo questo termine viene chiamato zero del polinomio. Per fare ciò ci basterà provare a usare i divisori del termine noto del polinomio, in questo caso 3 che è divisibile per ±1 e ±3.

P(1) = 7 ∙ (1)2 + 4 ∙ (1) – 3 = 7 + 4 + 3 = 14

P(-1) = 7 ∙ (-1)2 + 4 ∙ (-1) – 3 = 7 – 4 + 3 = 0

Dato che il polinomio si annulla mettendo -1 al posto di x, deduciamo che è divisibile per x + 1. Infatti anche il resto della loro divisione è uguale a 0, in base alla teoria menzionata sopra.

A questo punto ci basterà fare la divisione (7x2 + 4x – 3) : (x + 1) e avremo trovato il secondo fattore:

metodo di ruffini, esempio

Abbiamo a questo punto scomposto 7x2 + 4x – 3 in (x + 1) (7x – 3). Dato che tutti i fattori sono di primo grado e non è possibile scomporli ulteriormente, il procedimento di scomposizione finisce qui.