Le potenze di frazioni

Le potenze di frazioni

Le potenze di frazioni consistono nella moltiplicazione ripetuta di una stessa frazione. In generale, sia il numeratore che il denominatore vengono elevati alla medesima potenza, indicata da un esponente accanto alle parentesi che contengono la frazione considerata. Per questo motivo, l’intera frazione viene considerata come la base della potenza. Il risultato di questa potenza darà una frazione equivalente, cioè un’altra frazione il cui rapporto tra numeratore e denominatore sarà uguale alla prima.

Anche per le potenze di frazioni valgono le regole generali delle potenze. Questo significa che se l’esponente è uguale a 0, il risultato non sarà una potenza ripetuta ma darà sempre 1: ad esempio, (2/5)0 = 1. Se l’esponente è 1 allora la frazione è sempre uguale come ad esempio (1/4)1 = 1/4.

Le proprietà delle potenze con frazioni
Le proprietà delle potenze con frazioni sono uguali a quelle dei numeri interi

Le proprietà delle potenze con frazioni

Le proprietà delle potenze con frazioni sono uguali a quelli dei numeri interi perché consideriamo il numeratore e il denominatore come due singole basi elevate alla medesima potenza. Il prodotto tra potenze di frazioni con le stesse basi avrà una frazione con la stessa base ma con esponente la somma degli esponenti. Nel caso invece delle divisioni tra potenze all’esponente della prima frazione verrà sottratta quello della seconda.

Nel caso che due potenze di frazioni hanno in comune lo stesso esponente, il risultato sarà un’altra potenza con la base la somma delle basi delle due frazioni se si tratta di un prodotto oppure la differenza delle basi se si tratta di una divisione mentre l’esponente non varierà.

divisione potenze di frazioni con stesso esponente

Anche la potenza di potenza di una frazione segue la stessa regola di quella dei numeri interi. La base della nuova potenza sarà uguale a quella della frazione di partenza mentre l’esponente si ricava dal prodotto dei due esponenti di partenza.

Quando una frazione rientra nei numeri relativi, se l’esponente è un numero pari la potenza avrà sempre segno positivo mentre se l’esponente è dispari il segno della frazione risultante sarà negativo ogni volta che anche il segno della base sarà negativo.

Nel caso in cui una potenza ha esponente negativo, la si può convertire in un’altra che ha l’esponente di segno positivo ma con le basi invertite. Sotto possiamo vedere una dimostrazione generica di una potenza con esponente negativo ricavata dividendo due potenze con la stessa base in due modi diversi.

potenze con esponente negativo dimostrazione

Nel primo caso si è ricavato il risultato delle singole potenze e tramite una semplificazione si è ricavata la potenza risultante positiva.

Nel secondo caso è stata applicata la seconda proprietà delle potenze; si può notare che i due risultati devono dare lo stesso valore e perciò vale la definizione sopra. Si possono fare tutte le prove che si vogliono per verificare quanto detto.