Primo teorema di Euclide

Il primo teorema di Euclide dice che in un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto ha la stessa superficie del rettangolo che ha come lati la proiezione del primo cateto sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa. Questo è il primo passo che porta alla dimostrazione del teorema di Pitagora.

Euclide è stato un matematico e autore vissuto nel terzo secolo a.C., intorno al 300-250 circa, vissuto ad Alessandria in Egitto in un periodo di grande sviluppo culturale. Grazie ai suoi scritti, copiati e consultati per millenni, è considerato il padre della geometria. Scrisse un’opera in 13 volume, chiamato Elementi, dove alla fine del primo libro espone dimostra il teorema di Pitagora.

Il primo teorema di Euclide si basa sui poligoni equivalenti, cioè figure piane che hanno numero di lati diversi ma che, avendo la stessa misura della base e dell’altezza o in relazione tra loro, hanno la stessa area, sono equivalenti. Sul triangolo rettangolo vengono costruite diverse figure che messe in relazione dimostrano questo teorema.

Dimostrazione del primo teorema di Euclide

Disegniamo un triangolo rettangolo in modo che l’ipotenusa sia in basso e in direzione orizzontale. Sul cateto minore costruiamo un quadrato che ha come lato la stessa misura del cateto. Proiettiamo il cateto minore sull’ipotenusa e costruiamo su tale proiezione un rettangolo che ha la base congruente l’ipotenusa del triangolo rettangolo. Prolunghiamo, infine, i lati del rettangolo e quello del quadrato fino ad incontrarsi e formare un parallelogramma con il cateto minore.

Nell'immagine, la dimostrazione del primo teorema di Euclide

Come mostra la figura, il triangolo formato dai prolungamenti di un lato del quadrato e di quello del rettangolo sul vertice dell’ipotenusa con il cateto minore e dal lato del quadrato sul primo vertice del cateto minore è equivalente al triangolo rettangolo. Soprattutto, notiamo che il prolungamento del lato del rettangolo sul parallelogramma è congruente all’ipotenusa del triangolo rettangolo.

Se confrontiamo il quadrato con il parallelogramma, notiamo che sono equivalenti perché hanno la stessa base, che corrisponde al cateto minore, e la stessa altezza, perché l’altezza del quadrato è anche quella del parallelogramma che parte da uno dei suoi vertici e cade perpendicolarmente sulla proiezione del lato opposto.

Il parallelogramma è anche equivalente al rettangolo aventi la stessa base, perché entrambi i loro lati hanno la stessa misura dell’ipotenusa del triangolo rettangolo, e la stessa altezza. In questo caso si considera l’altezza del parallelogramma rispetto il lato più lungo.

Il quadrato costruito sul cateto è equivalente il rettangolo che ha la base congruente l’ipotenusa e l’altezza congruente la proiezione di quel cateto su di essa, proprio come dice il primo teorema di Euclide.

La stessa dimostrazione si può fare sul cateto maggiore procedendo allo stesso modo. La somma dei due rettangoli proiettati sull’ipotenusa formerà un quadrato che ha sia la base che l’altezza congruente l’ipotenusa. Questo dimostra il teorema di Pitagora secondo cui il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui due cateti.

Nell'immagine, la dimostrazione del primo teorema di Euclide sul cateto maggiore