Le proprietà delle proporzioni indicano che facendo alcuni cambiamenti agli estremi o ai medi di una proporzione si otterrà comunque un’altra proporzione. Queste proprietà ci permettono di risolvere alcuni tipi di problemi.
Una proporzione è un’uguaglianza fra due rapporti e si scrive in questo modo:
a : b = c : d
Dove:
- a, b, c e d sono i termini della proporzione;
- a e c sono detti antecedenti mentre b e d sono chiamati conseguenti;
- a e d sono detti estremi mentre b e c sono detti medi.
Può capitare che i medi di una proporzione siano uguali. In questo casi ciascuno dei due termini (b e c) viene chiamato medio proporzionale e la proporzione diventa:
a : b = b : d
Vedi anche: Cosa sono le proporzioni.
Vediamo quali sono le proprietà delle proporzioni, usando come esempio la proporzione in basso:
Quali sono le proprietà delle proporzioni?
Vediamo adesso quali sono le proprietà delle proporzioni.
La prima, che deriva dal criterio di uguaglianza tra le frazioni è la proprietà fondamentale: Il prodotto dei due estremi è uguale al prodotto dei medi. Questa proprietà ci permette di trovare il termine della proporzione mancante.
a : b = c : d; a ∙ d = b ∙ c
Da quelle fondamentale derivano le altre. Secondo la proprietà dell’invertire se scambiamo ciascun antecedente con il suo conseguente otteniamo sempre un’altra proporzione.
b : a = d : c; b ∙ c = a ∙ d
Abbiamo poi la proprietà del permutare. Questa consiste in due tipi a seconda se riguarda i medi o gli estremi:
Permutare i medi: Se scambiamo i due medi tra loro, otteniamo sempre un’altra proporzione.
a : c = b : d; a ∙ d = b ∙ c
Permutare gli estremi: Se scambiamo i due estremi tra loro otteniamo sempre un’altra proporzione.
d : b = c : a; a ∙ d = b ∙ c
Infine abbiamo le proprietà del comporre e dello scomporre, spiegati di seguito.
Proprietà del comporre:
La somma dei primi due termini sta al secondo termine come la somma degli ultimi due termini sta al quarto termine.
(a + b) : b = (c + d) : d
Oppure:
La somma dei primi due termini sta al primo termine come la somma degli ultimi due termini sta al terzo termine.
(a + b) : a = (c + d) : a
Proprietà dello scomporre:
La differenza dei primi due termini sta al secondo termine come la differenza degli ultimi due termini sta al quarto termine.
(a – b) : b = (c – d) : d
Oppure:
(a – b) : a = (c – d) : a
La differenza dei primi due termini sta al primo termine come la differenza degli ultimi due termini sta al terzo termine.
Esempi ed esercizi
Vediamo adesso come queste proprietà ci permettono di risolvere alcuni problemi. Per farlo, bisogna sapere risolvere le espressioni algebriche. Facciamo questo esercizio:
(5 – x) : x = 8 : 12
Consideriamo (5 – x) come il primo estremo e risolviamo la proporzione applicando la regola fondamentale:
(5 – x) ∙ 12 = 8 ∙ x
60 – 12x = 8x
-8x – 12x = -60
-20x = -60
20x = 60
x = 60/20 = 3
La stessa proporzione si può risolvere applicando la proprietà del comporre. Vediamo come si fa:
(5 – x) : x = 8 : 12
[(5 – x) + x] : x = (8 + 12) : 12
(5 – x + x) : x = (8 + 12) : 12
5 : x = 20 : 12
x = (5 ∙ 12) / 20 = 3
Infine, prova a risolvere questo esercizio applicando la regola dello scomporre:
(3 + x) : x = 15 : 10