Radice quadrata di 8

La radice quadrata di 8 è un numero irrazionale, composto da cifre decimali infinite e non periodiche che, elevato a 2, dovrebbe dare come risultato 8.

Un numero decimale periodico è un numero composto da cifre decimali infinite dove alcune o tutte si ripetono periodicamente come 1,36808080… o 5,3333333…. Una radice è un’espressione matematica dove bisogna trovare quel numero che elevato all’indice indicato in alto a sinistra della radice permette di ottenere il numero indicato all’interno della radice, il radicando.

Per risolvere radici complesse, si utilizza la scomposizione del radicando in fattori primi in modo da ottenere eventuali potenze che si semplificano con l’indice della radice. In questo caso, il numero 8 può essere scomposto in 2 ∙ 2 ∙ 2 oppure in 22 ∙ 2. In questo modo la radice quadrata di 8 risulta essere 2√2.

L'immagine mostra come semplificare la radice quadrata di 8 con la scomposizione in fattori primi

In questo esempio, abbiamo potuto semplificare la potenza al quadrato di 2 lasciando all’interno della radice soltanto il fattore che non poteva essere elevato a potenza. Dato che la radice quadrata di 2 è un numero irrazionale, anche il suo doppio sarà irrazionale di conseguenza.

Si può dimostrare che la radice di 8 è un numero irrazionale sia dimostrando l’irrazionalità della radice di 2 che utilizzando la spirale dei radicali. Su Geogebra si costruisce una linea dei numeri e si costruisce un triangolo rettangolo avente come cateto maggiore la radice quadrata di 4, cioè 2 e l’estremo sinistro coincidente con il punto 0. Il cateto minore sarà uguale a 1 in modo che l’ipotenusa sarà uguale alla radice quadrata di 5 tramite il teorema di Pitagora:

Sull’ipotenusa tracciamo la perpendicolare nell’estremo destro in modo da costruire un altro triangolo con il cateto minore uguale a 1. Otteniamo così la lunghezza dell’ipotenusa uguale a √6.

Illustrazione che mostra come ricavare la radice quadrata di 8 con la spirale dei radicali formata dai triangoli rettangoli.

Si continua in questo modo fino ad ottenere la radice di 8 e si traccia un arco con centro il punto 0 e raggio la lunghezza dell’ipotenusa dell’ultimo triangolo in modo da trovare la posizione della radice quadrata di 8. Si attivano le griglie principali e secondarie cliccando sull’ingranaggio in alto a destra e si ingrandisce l’immagine notando che il punto trovato non coinciderà mai con una delle rette delle griglie.

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