La regola di Ruffini

La regola di Ruffini

La regola di Ruffini è un metodo che permette di fare la divisione tra i polinomi in modo molto più semplice e rapido rispetto alle divisioni in colonna. Consiste nel lavorare soltanto sui coefficienti numerici dei vari termini e di inserire le potenze di lettere soltanto alla fine.

I polinomi sono delle espressioni algebriche composti dalla somma o dalla differenza tra più termini che hanno parte letterale diversa e nei quali non è possibile sommare i loro coefficienti. Alcuni esempi sono 3x2-2 e 4x + 2xy.

Mentre è facile fare la divisione tra un polinomio e un monomio, basta dividere ciascun termine del polinomio con quel monomio, non si può dire la stessa cosa quando si devono dividere due polinomi. Il calcolo in colonna funziona allo stesso modo dei numeri naturali ma può essere comunque un procedimento lungo ed elaborato. La regola di Ruffini serve proprio a risparmiare tempo e a organizzare i calcoli.

Quando e come si applica la regola di Ruffini

La regola di Ruffini vale quando il divisore è composto da un binomio di primo grado, cioè un polinomio composto da due termini del tipo x – a dove a è un numero reale.

Per eseguire la divisione è importante avere ordinato il dividendo in senso decrescente dalla potenza più grande di x a quella più piccola lasciando il termine noto, il numero senza lettere, alla fine. Ad esempio -5 + 3x2 + x deve essere riscritto in 3x2 + x – 5.

Costruiamo uno scema con tre colonne e tre righe. Nella prima riga della seconda colonna riporteremo i coefficienti del dividendo e nella terza colonna il termine noto. Se nel dividendo manca una potenza di lettere, ad esempio x, va riportato uno 0. Nella seconda riga della prima colonna riporteremo il termine noto del divisore cambiato di segno.

Il calcolo va fatto come segue: si abbassa il primo coefficiente del dividendo nella terza riga della seconda colonna e lo si moltiplica per il termine noto del divisore. Il risultato va scritto sotto il secondo coefficiente del dividendo, nella seconda riga della seconda colonna, e si riporta nella terza riga la loro somma.

Il risultato ottenuto va moltiplicato per il termine noto del divisore e il prodotto viene scritto sotto il successivo coefficiente o sotto il termine noto del dividendo se non ci sono più coefficienti.

Abbiamo così ottenuto i coefficienti del quoziente e il resto, dato dalla somma tra il termine noto del divisore e il prodotto ottenuto sotto di esso dai calcoli con i coefficienti. Per sapere il grado del quoziente basta fare la differenza tra il grado del dividendo e quello del divisore.

Sotto viene fatta la dimostrazione della divisione di (3x2 + x – 5) : (x – 2).

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Da ricordare che se il dividendo fosse stato composto da 3x2 – 5 nello schema si sarebbe scritto 0 al posto di 1, il coefficiente di x.

Chi era Ruffini?

Paolo Ruffini è stato un matematico vissuto durante la Rivoluzione francese e l’ascesa di Napoleone Bonaparte. Nacque a Valentano, in provincia di Viterbo nel 1765 e morì a Modena nel 1822. E’ famoso per la sua regola che permette di dividere alcuni tipi di polinomi e, soprattutto, per la sua teoria riguardante le equazioni, scritta in una pubblicazione del 1799, secondo cui è impossibile risolvere tutte le equazioni che sono maggiori del 4° grado.

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