Le relazioni di equivalenza

Le relazioni di equivalenza si hanno quando gli elementi di un insieme sono in relazione con se stessi e godono della stessa relazione gli uni con gli altri.

Gli insiemi sono raggruppamenti di oggetti che possono essere numeri, lettere, luoghi, o qualsiasi altra cosa. Ciascun oggetto preso singolarmente viene chiamato elemento di quell’insieme. Si usano le lettere maiuscole per nominare gli insiemi mentre per indicare i loro elementi si usano le lettere minuscole. Per rappresentarli si usano diversi modi tra cui inserire gli elementi dentro una curva chiusa o scriverli dentro delle parentesi graffe.

Le relazioni tra elementi di un insieme sono delle proprietà che indicano che tipo di rapporto o funzione c’è tra un elemento e l’altro. In un insieme ci possono essere molti elementi diversi ma alcuni tra loro possono avere un altro tipo di relazione più specifico.

Ad esempio, in una classe di prima elementare ci sono alunni che hanno 5 anni mentre altri 6 anni. Questo potrebbe portare alla formazione di due sottoinsiemi che mette in relazione l’età tra gli alunni. Questi due sottoinsiemi, formati da elementi che godono della relazione di equivalenza vengono chiamati classi di equivalenza. Ma si potrebbero suddividere gli alunni anche per l’altezza o prendere come riferimento tutti quelli che hanno gli occhiali.

Caratteristiche delle relazioni di equivalenza

Una relazione di equivalenza ha le seguenti caratteristiche, accennati anche sull’articolo relativo le proprietà delle relazioni:

  • E’ riflessiva, cioè ogni elemento può essere messo in relazione con se stesso;
  • E’ simmetrica, perché entrambi gli elementi di un insieme hanno la stessa relazione. Ad esempio, due alunni che hanno la stessa età o che portano entrambi gli occhiali;
  • E’ transitiva, dato che un elemento ha la stessa relazione con più elementi.

Le relazioni di equivalenza permettono di classificare gli elementi di un insieme. In geometria, ad esempio, le figure piane vengono classificate in base al numero dei loro angoli e dei loro lati: i triangoli hanno tutti tre lati e tre angoli, i quadrilateri ne hanno quattro ciascuno, i pentagoni ne hanno cinque.

Questa classificazione deve essere fatta in maniera così specifica da fare in modo che un elemento non può fare parte di due sottoinsiemi ma deve avere una proprietà che lo faccia rientrare soltanto in una classe di equivalenza.