Le relazioni in matematica

Le relazioni in matematica

Le relazioni nell’ambito della matematica sono delle proprietà che associano gli elementi di un insieme, chiamato di partenza, con quelli di un altro definiti di arrivo.

Un insieme è un raggruppamento di numeri, lettere o qualsiasi altra cosa come oggetti, luoghi, paesi e così via che prendono il nome di oggetti. Ciascun oggetto preso singolarmente viene chiamato elemento di quell’insieme.

Si usano le lettere maiuscole per nominare gli insiemi mentre per indicare i loro elementi si usano le lettere minuscole. Per rappresentare gli insiemi si possono usare diversi modi tra cui scrivere gli elementi dentro le parentesi graffe (N = (0, 1, 2, 3…) o inserire gli elementi dentro delle curve chiuse.

diagramma di venn, insieme delle vocali
L’insieme delle vocali

Poniamo di avere due insiemi dove gli elementi dell’insieme A sono -1, 1, -2, 2, -4, 4 mentre quelli di B sono 1, 4, 16. Possiamo dire che gli elementi di A sono in relazione con B in quanto gli elementi di quest’ultimo sono il quadrato del primo. Infatti, la potenza al quadrato di -1 e 1 è sempre 1, il quadrato di -2 e 2 è 4 mentre sia -4 che 4 al quadrato fa 16.

Come possiamo notare, l’insieme di arrivo può avere più elementi dell’insieme di partenza che sono in relazione con i suoi elementi ma mai il contrario. Il quadrato di 1 è sempre e soltanto 2 mentre il quadrato di 4 è 16.

Rappresentazione delle relazioni matematiche

Possiamo rappresentare una relazione matematica, come quella di sopra in vari modi diversi:

  • Elencandoli come mostrato in precedenza, inserendo gli elementi in relazione dentro delle parentesi.
    • R = [(-1; 1), (1; 1), (-2; 4), (2; 4), (-4; 16), (4; 16)]
  • Mediante una tabella, scrivendo gli elementi di A nella prima colonna e gli elementi di B nella prima riga e segnando le caselle delle coppie che sono in relazione.
tabella relazione matematica
  • Disegniamo i due insiemi inserendo i loro elementi in due curve chiuse e disegniamo le frecce che partendo da ogni elemento dell’insieme di partenza arrivano all’elemento in relazione dell’insieme di arrivo.
  • Tramite il piano cartesiano, scriviamo gli elementi di A nella semiretta orizzontale e quelli di B in quella verticale e segniamo i punti delle coppie in relazione.

Vediamo adesso alcune definizioni: gli elementi dell’insieme di partenza che sono in relazione con quelli di arrivo sono chiamati dominio mentre gli elementi dell’insieme di arrivo che sono in relazione con quelli di partenza presi collettivamente costituiscono l’insieme immagine. Non è, inoltre, detto che tutti gli elementi di un insieme debbano essere in relazione con quelli di un altro. In quel caso, questo tipo di relazione viene chiamata funzione e viene usata spesso in matematica.

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