Le rette perpendicolari

Le rette perpendicolari sono linee infinite che quando si intersecano tra di loro dividono il piano in quattro angoli di 90 gradi. Nei disegni geometrici si disegna un piccolo quadrato tra le due rette per indicare la loro perpendicolarità, spesso quando bisogna dimostrare dei teoremi o per risolvere problemi di geometria o trigonometria. Si usa anche il simbolo ꓕ per mettere in relazione due elementi geometrici. Basta che un angolo formato da due rette è di 90 gradi per dimostrare che esse sono perpendicolari fra loro. Infatti l’angolo successivo è pure di 90 gradi, essendo il suo supplementare perché la loro somma è di 180 gradi.

Anche i segmenti che passano da queste due rette, quando si incontrano formano angoli di 90 gradi. Esempi di segmenti perpendicolari sono i cateti di un triangolo rettangolo, i lati di un rettangolo e i lati di un quadrato. Quando due rette formano quattro angoli di 90 gradi si dicono anche ortogonali, che è un termine sinonimo a quello che stiamo considerando. I segmenti ortogonali che passano da un vertice di un triangolo al lato opposto vengono chiamati altezze e il loro punto di intersezione si chiama circocentro.

Nei paragrafi successivi puoi leggere e vedere un video su come si costruiscono le rette perpendicolari, la definizione di diversi tipi di segmenti ortogonali e che c’è una formula per ricavare i punti di questo tipo di rette. Infine, ci sono degli esercizi dedicati a questo argomento ordinati in base alla difficoltà e al tempo richiesto per risolverli.

Costruzione di due rette perpendicolari

Dopo avere tracciato su un foglio una retta qualsiasi, possiamo costruire su uno qualsiasi dei suoi punti la perpendicolare servendoci di un compasso e delle squadrette. Puntiamo il compasso sul punto stabilito e tracciamo due archi nei due lati della retta aventi la stessa distanza, o raggio, da quel punto. Dall’intersezione tra ciascun arco con la retta, ci segniamo i due punti trovati.

Puntiamo il compasso sul primo punto e stabiliamo un nuovo raggio che sia maggiore della distanza dei due punti trovati. Tracciamo un arco sopra e sotto la retta tenendo conto che si dovrà intersecare con gli archi tracciati nel secondo punto.

Centriamo il compasso nel secondo punto usando lo stesso raggio e tracciamo i rispettivi archi. Troviamo così due punti della rette perpendicolare a quella data. A questo punto, ci basta unire i due punti finali. Il video sotto mostra come si procede su Geogebra, piattaforma online per lo studio della geometria. Si è seguito lo stesso procedimento disegnando una retta, stabilendo un punto su di essa e usando il pulsante per creare circonferenze, quello per creare gli archi e quello per rilevare le intersezioni. C’è anche il pulsante specifico per costruire la perpendicolare ad una retta su un punto e possiamo usarlo per verificare che quello che abbiamo fatto è giusto.

Alcune rette perpendicolari o parti di esse hanno dei nomi specifici indicate sotto:

  • L’asse di un segmento è la perpendicolare di quel segmento che passa per il suo punto medio e che lo divide in due;
  • La proiezione ortogonale di un punto su una retta è il punto di intersezione tra la perpendicolare passante dal punto alla retta sulla retta stessa;
  • La distanza di un punto da una retta è la lunghezza del segmento che ha come estremi il punto e la sua proiezione sulla retta;
  • La proiezione ortogonale di un segmento su una retta è il segmento che come estremi le proiezioni degli estremi del segmento e di conseguenza tutti i suoi punti sono proiezioni ortogonali dei punti del segmento.
  • L’altezza è il segmento che passa da un vertice di un triangolo e che forma due angoli di 90 gradi con il suo lato opposto. Le altezze di un triangolo rettangolo coincidono con i suoi cateti.
L'immagine mostra alcuni esempi di rette perpendicolari: distanze di alcuni punti da una retta e le proiezioni ortogonali di tali punti sulla retta

Vedi anche: Le proiezioni ortogonali

Piano cartesiano e condizioni di perpendicolarità

E’ possibile conoscere le coordinate dei punti di una retta e la sua pendenza servendoci del piano cartesiano, un sistema di riferimento costituito da due rette perpendicolari, una con direzione verticale e l’altra con direzione orizzontale, chiamate assi. Il punto di incontro di queste due rette viene chiamato origine e gli viene attribuito come coordinate 0.

Gli assi cartesiani vengono utilizzati come riferimento: su ciascuno di essi vengono inseriti dei punti ordinati numericamente distanti l’uno dall’altro alla stessa distanza, stabilendo così un’unità di misura per determinare le coordinate dei punti all’interno del piano cartesiano, cioè la loro distanza rispetto all’asse verticale, chiamato ordinata, e rispetto all’asse orizzontale, chiamato ascissa. Ogni punto ha due coordinate: la coordinata x rappresenta la sua distanza rispetto all’asse delle ordinate mentre la coordinata y rappresenta la distanza del punto rispetto all’asse delle ascisse.

Una retta è formata da infiniti punti il cui rapporto tra l’ordinata e l’ascissa è sempre uguale. Tale rapporto viene chiamato coefficiente angolare e permette di determinare la pendenza della retta formata da questi punti e permette anche di capire la relazione tra due o più rette. Ad esempio, se due rette hanno lo stesso coefficiente angolare, vuol dire che hanno la stessa pendenza e che sono parallele.

Una retta può passare per l’origine degli assi cartesiani oppure essere una parallela ad a quella che passa per l’origine e che si trova ad una certa distanza da essa. Nel primo caso l’equazione che permette di calcolare le coordinate della retta è y = mx mentre per determinare il coefficiente angolare la formula è m = y/x. Nel caso volessimo ricavare le coordinate di un punto di una retta che non passa per l’origine, al prodotto tra il coefficiente angolare e il valore di x dobbiamo aggiungere la distanza tra il punto e la sua proiezione ortogonale sulla retta che passa per l’origine, indicata con la lettera q: y = mx +q . E’ chiaro che per determinare il valore dell’ordinata di un punto dobbiamo stabilire a priori la sua ascissa.

Vediamo adesso come si stabilisce se due rette sono perpendicolari. Possiamo ricavare la relazione che c’è tra i loro coefficienti angolari costruendo sul piano cartesiano due rette ortogonali che passano per l’origine. Segniamo su queste rette due punti che hanno entrambi il valore dell’ascissa 1. Di conseguenza, il valore di y sarà uguale al coefficiente angolare della rispettiva retta e la distanza dei due punti si ricava calcolando la differenza tra le ordinate dei due punti senza considerare il loro segno.

L'immagine mostra due rette perpendicolari passanti per l'origine del piano cartesiano
L’ordinata del primo punto è uguale al coefficiente angolare della prima retta mentre quella del secondo punto è uguale al coefficiente angolare della seconda retta.

Abbiamo costruito un triangolo rettangolo i cui vertici sono i due punti e l’origine degli assi cartesiani, i cateti sono le distanze tra l’origine e i due punti mentre l’ipotenusa è rappresentata dalla distanza tra i due punti. Dato che per il teorema di Pitagora, l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa equivale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti, possiamo scrivere l’equazione che mette in relazione le loro coordinate cartesiane.

Inoltre, il triangolo che stiamo considerando può essere diviso in altri due triangoli rettangoli le cui distanze tra l’origine e i due punti delle rispettive rette rappresentano la lunghezza delle loro ipotenuse. Possiamo così confrontare il quadrato dell’intero segmento rappresentato dalla distanza dei punti delle due rette con i quadrati delle rispettive parti di cui è diviso tale segmento.

Vedi anche: Le formule del triangolo rettangolo

L'illustrazione mostra come si ricava la formula per stabilire la condizione di perpendicolarità di due rette
L’illustrazione mostra come si ricava la formula per stabilire la condizione di perpendicolarità di due rette

Per risolvere la seconda parte della dimostrazione riguardante le rette perpendicolari passanti per l’origine, applichiamo il quadrato del binomio al primo membro dell’equazione (m-m1)2 = 1 + m2 + 1 + m12. Il quadrato del binomio si risolve sommando il quadrato di ciascun termine e il loro doppio prodotto che nel caso sopra è di segno negativo. Risolvendo l’equazione otteniamo che il prodotto tra i coefficienti angolari delle rette perpendicolari è sempre uguale a -1. Possiamo anche concludere che m = – (1/m1) e m1 = – (1/m). Quanto detto rappresenta la condizione di perpendicolarità di due rette.

Esercizi

I seguenti esercizi possono essere risolti usando modi e strumenti diversi, sia su carta che al PC. Risolvili usando la tua creatività:

  • Disegna due o più rette consecutive, adiacenti o che si intersecano tra loro e costruisci le loro perpendicolari su uno o più punti a piacere;
  • Disegna tipi di triangoli diversi e costruisci le perpendicolari che passano da un punto a piacere sui loro lati;
  • Disegna alcuni segmenti e alcune rette orientate in modo diverso e costruisci le proiezioni ortogonali di questi segmenti sulla rispettiva retta;
  • Costruisci su un piano cartesiano una retta che ha come coefficiente angolare il valore di 2 e la sua perpendicolare.
  • Costruisci su un piano cartesiano una retta di equazione y = 1,67x e la sua perpendicolare nel punto di coordinate 3 e 5.
    • Suggerimento: In questo esercizio dopo avere disegnato la prima retta e segnato il punto di intersezione, hai già tutti gli elementi per costruire la seconda retta a parte la sua ordinata all’origine, la variabile q. Dopo avere scritto l’equazione delle seconda retta, puoi ricavare la formula inversa mediante i principi di equivalenza.