Il secondo principio di equivalenza

Il secondo principio di equivalenza è uno dei due principi che ci permettono di risolvere le equazioni e stabilisce se moltiplichiamo o dividiamo entrambi i membri di un’equazione con uno stesso numero o con una stessa espressione letterale otteniamo un’equazione equivalente, cioè un’altra equazione dove l’incognita ha lo stesso valore della prima. Da questo principio deriva la regola del cambiamento di segno.

Un’equazione è un’uguaglianza tra due espressioni letterali, dove compaiono lettere e spesso anche numeri, dove bisogna trovare il valore di una o più lettere, chiamate incognite, affinché l’equazione sia vera. Viene scritta nel seguente modo:

4x + 5 = 3x – 2

Due equazioni si dicono equivalenti quando hanno la stessa soluzione, cioè dove l’incognita che spesso viene chiamata con la lettera x, ha lo stesso valore per entrambi. Le due equazioni 12x – 6 = 8 e 6x – 3 = 4 sono equivalenti perché x ha lo stesso valore per entrambi.

Come si applica il secondo principio di equivalenza

Il secondo principio di equivalenza si basa sulla seconda legge di monotonia dove viene stabilito che se moltiplichiamo o dividiamo due espressioni numeriche che hanno lo stesso risultato con uno stesso numero, otteniamo altre due espressioni uguali.

8 + 2 = 5 + 5

(8 + 2) : 2 = (5 + 5) : 2

Per il secondo principio di equivalenza, moltiplicando o dividendo due espressioni letterali che hanno lo stesso risultato per uno stesso numero o una stessa espressione letterale, composta dal prodotto di numeri e lettere, otteniamo un’equazione equivalente. Vediamo come si applica nel trovare l’incognita di  2x – 6 = 8.

2x – 6 = 8

(2x – 6)/2 = 8/2

x – 3 = 4

x = 4 + 3

x = 7

Nel terzo passaggio, -3 è stato spostanto nell’altro membro dell’equazione in modo da isolare l’incognita. Questo metodo si chiama regola del trasporto e si basa sul primo principio di equivalenza.

Dal secondo principio si ricava anche la regola del cambiamento di segno. Infatti, se l’incognita è negativa possiamo moltiplicare tutti i termini dell’equazione per -1 e ricavare il valore di x.

-x + 4 = 5

(-x + 4) (-1) = 5 (-1)

x – 4 = -5

x = -5 + 4

x = -1

Come si può vedere dai passaggi due e tre dell’esempio, noi abbiamo semplicemente cambiato di segno tutti i termini dell’equazione. In base alla regola del cambiamento di segno, otteniamo un’equazione equivalente a quella quando cambiamo di segno tutti suoi termini.

Secondo principio nelle disequazioni

Anche nelle disequazioni possiamo utilizzare il secondo principio di equivalenza. Una disequazione è la forma scritta di una disuguaglianza tra due espressioni letterali; un’espressione può essere maggiore (simbolo >), minore (<), maggiore o uguale (≤) e minore o uguale (≥) ad un’altra.

Se si moltiplicano entrambi i membri per un numero positivo, il verso della disequazione rimane lo stesso e si procede normalmente; se moltiplichiamo i membri per un numero negativo il verso della disequazione si deve cambiare con il suo opposto. Ad esempio, nella disequazione -x > -5 possiamo cambiare il segno a tutti i termini in questo modo: x < 5. Vediamo un esempio con i numeri interi:

7 – 3 > 8 – 5

4 > 3