La somma algebrica

La somma algebrica

La somma algebrica è un’operazione matematica tra numeri interi, tra lettere o tra numeri interi e lettere e che racchiude in sé stessa sia l’operazione di addizione che quella della sottrazione.

I numeri interi sono tutti i numeri costituiti da un segno, positivo (+) o negativo (-), e da un valore numerico, chiamato valore assoluto. Anche lo 0 fa parte di questo insieme ma non ha un segno.

Due numeri interi che hanno lo stesso valore assoluto ma segno diverso sono detti opposti, se hanno lo stesso valore assoluto e lo stesso segno sono uguali mentre se due numeri che hanno valori diversi hanno lo stesso segno si chiamano concordi e se hanno segno diverso sono detti discordi. Riassumendo:

  • +2 e -2 sono opposti;
  • +4 e +4 oppure -3 e -3 sono uguali;
  • +5 e +12 oppure -4 e -2 sono concordi;
  • +7 -15 oppure -4 e +2 sono discordi.

La somma algebrica racchiude sia l’operazione dell’addizione che di quello della sottrazione. Pertanto, (+2) + (+4) e (+9) – (+3) sono entrambe delle somme algebriche e si possono anche semplificare in 2 + 4 e 9 – 3.

L’addizione tra numeri interi

L’addizione tra due numeri interi con lo stesso segno funziona come nel caso dei numeri naturali. Si fa la somma tra i valori assoluti e il segno del risultato sarà positivo se lo è anche quello degli addendi, altrimenti sarà negativo.

(+2) + (+4) = 2 + 4 = +6

(-2) + (-4) = -2 – 4 = -6

Se i due numeri hanno segno diverso, la loro somma avrà lo stesso segno dell’addendo con valore assoluto maggiore mentre il suo valore numerico sarà uguale alla differenza degli addendi. Se si prova a fare i calcoli con le dita della mano si riscontrerà che è proprio così

(+6) + (-5) = +(6 – 5) = +1

(+2) + (-4) = -(4 -2) = -2

La sottrazione e la somma algebrica

La sottrazione tra numeri interi avviene in modo leggermente diverso e lo si capisce se si pensa alla proprietà distributiva della moltiplicazione. Pensiamo ad una formula generica in cui moltiplichiamo 2 ad una somma di lettere:

2 ∙ (a + b + c) = 2a +2b + 2c

In questo caso è sottinteso che 2 è di segno positivo. Ma che dire se fosse di segno negativo? Allora si applicherebbe la regola dei segni della moltiplicazione è cioè che se i segni tra due fattori sono uguali il loro prodotto avrà segno positivo mentre se sono diversi il segno del prodotto sarà sempre negativo.

Quando scriviamo (+2) + (+4) è come se scrivessimo (+2) + 1 ∙ (+4) dove +1 e +4 sono i fattori della moltiplicazione. Dato che sono concordi, il loro prodotto dà un numero positivo e possiamo semplificare l’espressione algebrica in 2 + 4 oppure in +2 +4.

Nel caso della sottrazione è come se avessimo -1 ∙ a = -a oppure -1 ∙ (-a) = +a. Pertanto possiamo dire che la sottrazione di due interi è uguale alla somma algebrica tra il primo termine e il secondo cambiato di segno perché ci deve sempre essere un segno tra due interi che indica l’operazione tra loro anche se possiamo sottintenderla:

(+2) – (+4) = (+2) + (-4) = – (4-2) = -2 oppure

(+2) – (+4) = +2 – 4 = – (4-2) = -2

Dato che la sottrazione viene trasformata in un’addizione, l’insieme di queste operazioni nell’ambito dei numeri interi come anche dove figurano lettere, come abbiamo visto negli esempi sopra, viene chiamata somma algebrica.

Somma algebrica tra monomi e polinomi

Quando abbiamo a che fare con i monomi e i polinomi, la somma algebrica funziona allo stesso modo dei numeri interi.

I monomi sono delle moltiplicazioni sottintese tra numeri e lettere. Quando in un monomio figurano soltanto un numero e una sola volta ogni potenza delle sue lettere, si dice che è ridotto in forma normale come 2a e 3a2b.

I monomi si possono sommare o sottrarre soltanto quando sono simili, cioè quando hanno la stessa parte letterale. In questo caso possiamo fare l’addizione o la sottrazione tra i loro numeri, chiamati coefficienti.

(+2a) + (+5a) = +7a

(+2a) + (-5a) = -(5-2)a = -3a

(+2a) – (+5a) = +2a – 5a = -3a

(+2a) – (-5a) = +2a + 5a = 7a

I polinomi sono la somma algebrica tra due o più monomi che non sono simili. Dato che non è possibile sommare i coefficienti di tali monomi, l’espressione viene scritta così com’è e i singoli monomi vengono chiamati termini del polinomio: 3a + 2b; 4xy +5x +3y; 3ab – 2

Quando si fa l’addizione o la sottrazione tra due polinomi si fa la somma algebrica tra i loro termini; si sommano i coefficienti dei termini che hanno la stessa parte letterale e si aggiungono i termini che non sono simili formano un nuovo polinomio.

(a + b + c) + (3a – 4c) = a + b + c + 3a – 4c = 4a + b – 3c

(3x2 + 4y) – (x2 + 2y – 4) = 3x2 + 4y – x2 – 2y +4 = 2x2 + 2y +4

Possiamo notare che man mano che si fa pratica con queste operazioni diventa più facile omettere le parentesi e i segni da sottintendere. Facendo diversi tipi di esercizi e con la pratica diventerà più facile risolvere le varie somme algebriche.

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