Il prodotto tra la somma per la differenza di due monomi è uguale semplicemente alla differenza tra il quadrato del primo monomio e il quadrato del secondo. Si tratta di uno dei prodotti notevoli, cioè una moltiplicazione che viene risolta in maniera sintetica grazie ad una regola.
I monomi sono dei semplici prodotti tra una parte numerica e una parte letterale dove il segno della moltiplicazione viene lasciato sottinteso. Quando in un monomio figura un solo numero e soltanto una volta tutte le potenze delle sue lettere, viene detto che si trova ridotto in forma normale e la sua parte numerica viene chiamata coefficiente. Alcuni esempi sono 2ab2 o 30x3y4. La somma o la differenza tra due monomi che hanno la stessa parte letterale è sempre possibile perché basta sommare i loro coefficienti.
La somma o la differenza di due monomi che non sono simili, che hanno la parte letterale diversa, viene chiamata polinomio e precisamente binomio. Quindi stiamo parlando anche del prodotto tra la somma e la differenza degli stessi termini di un polinomio.
Come si ottiene il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza
Quando moltiplichiamo due polinomi, dobbiamo moltiplicare ciascun termine del primo polinomio per ciascun termine del secondo. Dopodiché facciamo la somma algebrica dei prodotti simili ottenuti. Consideriamo una formula generica dove A e B rappresentano i due monomi:
(A + B)(A – B) = A2 – AB + BA – B2
I monomi AB e BA sono la stessa cosa perché possiamo applicare semplicemente la proprietà commutativa della moltiplicazione. Possiamo quindi scriverli allo stesso modo. Inoltre, quando due termini del polinomio hanno la stessa parte letterale sono in effetti due monomi simili ed è possibile sommare le loro parti numeriche, chiamate coefficienti. In questo caso 1 è sottinteso in tutte le lettere. Comunque, -AB e +AB sono opposti e si annullano a vicenda dato che -1 + 1 = 0.
(A + B)(A – B) = A2 – AB + AB – B2 = A2 – B2
Questa è la formula generica ma è possibile applicarla con qualsiasi somma per differenza dei termini di un binomio, polinomio con due termini, anche se figurano frazioni o numeri interi.
