Il teorema del resto

Il teorema del resto

Il teorema del resto è un’affermazione, basata sulla dimostrazione, riguardante i polinomi e dice che nella divisione di due polinomi dove il divisore è del tipo x – a, è possibile calcolare il resto semplicemente inserendo al posto di x il termine noto del divisore cambiato di segno e procedere con le operazioni algebriche.

I polinomi sono delle somme algebriche di più espressioni formate dal prodotto di numeri e lettere che non sono simili. Alcune divisioni tra polinomi che rispettano la definizione sopra (3x2 – 4x + 2) : (x – 2) oppure (4y – 1) : (y – 1).

Nelle divisioni in generale, come anche in quella dei polinomi, il primo termine viene chiamato dividendo mentre il secondo divisore. Il termine noto è un qualsiasi termine di un polinomio composto soltanto da un numero, senza nessuna lettera accanto.

Il modo più semplice nel risolvere le divisioni tra questo tipo di polinomi è applicare la regola di Ruffini: disponendo i vari termini dei polinomi in delle colonne è possibile fare i calcoli per ricavare il quoziente di una divisione come anche il resto. Sotto viene mostrato un esempio di questo calcolo, la spiegazione dettagliata si trova nell’articolo riguardante questa regola.

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Dimostrazione del teorema del resto

Per il teorema del resto, a noi basta sostituire il valore opposto al termine noto del divisore a tutte le incognite e fare i calcoli matematici per ricavare il resto.

Ciascun polinomio ha un valore specifico a seconda del valore della sua incognita. Se dovessimo usare una formula generica e indicare con P il polinomio che rappresenta il dividendo, scriveremo:

P : (x – a) = Q + R

Abbiamo a tutti gli effetti un’equazione, un ‘uguaglianza tra due espressioni. Applichiamo il secondo principio di equivalenza e isoliamo il polinomio da dividere:

P = (x – a) ∙ Q + R

Adesso, stabiliamo come valore di x il termine noto, rappresentato dalla variabile a, cambiato di segno e semplifichiamo l’equazione.

P(a) = (a – a) ∙ Q + R

P(a) = 0 ∙ Q + R

P(a) = 0 + R

P(a) = R

Abbiamo così dimostrato il teorema del resto, secondo cui sostituendo all’incognita l’opposto del termine noto del divisore possiamo ricavare il resto della divisione. Applichiamo questo teorema alla divisione riportata sopra e ricaviamo il suo resto:

(3x2 + x – 5) : (x – 2)

P(x) = 3x2 + x – 5

P(2) = 3 ∙ 22 + 2 – 5

P(2) = 3 ∙ 4 + 2 – 5 = 12 + 2 – 5

P(2) = 16 – 5 = 9

R = 9

Il resto è uguale a 9, proprio come ricavato dalla regola di Ruffini. Il teorema del resto viene usato principalmente per sapere un polinomio è divisibile per un altro: infatti, se il resto è uguale a 0 sappiamo che ricaveremmo soltanto il quoziente senza dover fare la divisione.

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