Il teorema di Pitagora è una regola molto importante per risolvere i problemi di geometria e dice che in un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui suoi cateti. Questo ci permette facilmente di ricavare un elemento del triangolo conoscendone gli altri due. Inoltre, questo teorema viene applicato anche per calcolare la distanza tra due punti nel piano cartesiano e viene applicato in molti campi tra cui la geometria, l’ingegneria e la fisica.
Questo teorema ci permette di ricavare la lunghezza dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo semplicemente ricavando la radice quadrata della somma delle potenze al quadrato dei cateti. Allo stesso modo, possiamo ricavare la lunghezza di un cateto semplicemente calcolando la radice quadrata della differenza tra il quadrato dell’ipotenusa e il quadrato dell’altro cateto. Queste, in sostanza, sono le due formule per risolvere i triangoli rettangoli.
Pitagora è stato un matematico e filosofo vissuto tra il 600 e il 500 a.C. Dopo avere studiato in Egitto, si trasferì a Crotone, nell’attuale Calabria e fondò una sua scuola. Fu lui a rendere la matematica una vera e propria scienza, basata su dimostrazioni e prove partendo da verità semplici e incontestabili; Il teorema di Pitagora si basa proprio su questi concetti.
Dimostrazione del teorema di Pitagora
La seguente dimostrazione del teorema di Pitagora si basa sul primo teorema che il matematico Euclide dimostrò secoli dopo secondo cui il quadrato costruito su un cateto di un triangolo rettangolo è equivalente al rettangolo che ha i lati congruenti la proiezione del cateto sull’ipotenusa e all’ipotenusa stessa.
Se proiettiamo il primo cateto e costruiamo il rettangolo menzionato sopra, prolunghiamo i suoi lati e li uniamo al prolungamento dei lati del quadrato costruito sul cateto, otteniamo un quadrato, un parallelogramma e un rettangolo. Dal prolungamento del lato del quadrato con quello del rettangolo, costruiamo anche un triangolo rettangolo equivalente all’originale.
Il quadrato è equivalente al parallelogramma perché hanno la stessa base e la stessa altezza. Il parallelogramma ha la stessa area anche con il rettangolo aventi la stessa base e la stessa altezza; perciò il quadrato è equivalente anche al rettangolo.
Se facciamo lo stesso procedimento sul cateto maggiore, possiamo dimostrare che anche il quadrato costruito su di esso ha la stessa superficie del rettangolo che ha i lati congruenti all’ipotenusa e alla proiezione del cateto maggiore su di essa.
La somma dei due rettangoli equivale al quadrato costruito sull’ipotenusa, perché sia la base che l’altezza sono congruenti ad essa. La somma dei due rettangoli è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti; pertanto il quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei cateti.
Il teorema di Pitagora può essere dimostrato in molti modi diversi. Un metodo usato prima di Euclide poteva essere quello di creare il quadrato sull’ipotenusa utilizzando copie del triangolo rettangolo originale in modo da formare un quadrato più grande e usarlo come riferimento. Infatti, la somma degli angoli interni dei cateti è sempre di 90 gradi. Perciò, mettendoli uno accanto all’altro l’angolo rimanente è sempre retto, 180 gradi – 90 gradi.
Si ricopia il quadrato più grande e si spostano i quattro triangoli in modo da isolare il quadrato costruito usando il cateto maggiore e quello costruito usando il cateto minore. I due quadrati più grandi sono equivalenti, anche se ottenuti usando elementi diversi. Applicando il primo principio di equivalenza, si possono eliminare i quattro triangoli su ciascun membro dell’equazione formata dalle due formule e ottenuto il teorema di Pitagora.
Inoltre, è possibile dimostrare il teorema menzionato anche algebricamente, usando soltanto la figura a destra, dove mettiamo in relazione la formula per ottenere l’area del quadrato moltiplicando lato per lato, in questo casa dalla potenza al quadrato della somma dei cateti e la formula che deriva dalla somma del quadrato costruito sull’ipotenusa con l’area dei quattro triangoli rettangoli. I triangoli sono equivalenti e la loro area è ottenuta dal semiprodotto dei due cateti.
Le formule del triangolo rettangolo e applicazioni
Grazie al teorema di Pitagora possiamo facilmente ricavare le formule del triangolo rettangolo per ricavare l’ipotenusa o uno dei cateti a condizione di conoscere gli altri elementi.
Semplificando, possiamo dire che:
- l’ipotenusa è uguale alla radice quadrata della somma tra i quadrati dei cateti;
- ciascun cateto è uguale alla radice quadrata della differenza tra il quadrato dell’ipotenusa e il quadrato dell’altro cateto.
Il teorema di Pitagora può essere applicato in molti campi proprio perché ci si avvale dei triangoli rettangoli. Ad esempio, nel piano cartesiano possiamo facilmente usare due punti conosciuti come vertici e usare le loro coordinate per ricavare la lunghezza dei cateti del triangolo rettangolo che essi formano. Anche nella fisica, le forze oblique vengono divise in una componente orizzontale e una verticale in modo da lavorare con i triangoli rettangoli.
Per approfondire leggi questi articoli: I radicali, Le formule del triangolo rettangolo, Distanza tra due punti
Esercizi sul teorema di Pitagora
Prova adesso a risolvere questi semplici esercizi:
- Un triangolo rettangolo ha un cateto di 3 cm e l’altro cateto di 4 cm. Quanto misura l’ipotenusa?
- Un triangolo rettangolo ha l’ipotenusa di 10 cm e un cateto di 6 cm. Calcola quanto è lungo l’altro cateto.
