Il teorema di Ruffini

Il teorema di Ruffini

Il teorema di Ruffini dice che un polinomio è divisibile per un binomio del tipo x – a soltanto se scambiando la sua incognita con l’opposto del termine noto del divisore viene annullato.

I polinomi sono delle somme algebriche di più espressioni formate dal prodotto di numeri e lettere che non sono simili. Alcune divisioni tra polinomi che rispettano la definizione sopra sono (3x2 – 4x + 2) : (x – 2) oppure (4y – 1) : (y – 1). Quando un polinomio è composto soltanto da due termini viene chiamato binomio.

Nelle divisioni in generale, come anche in quella dei polinomi, il primo termine viene chiamato dividendo mentre il secondo divisore. Il termine noto è un qualsiasi termine di un polinomio composto soltanto da un numero, senza nessuna lettera accanto.

Dimostrazione del teorema di Ruffini

Per ricavare il resto di una divisione del tipo menzionato sopra basta sostituire il termine noto del divisore cambiato di segno alle x del polinomio da dividere. Infatti, se il dividendo lo chiamiamo con una lettera generica P, che rappresenta un qualsiasi polinomio da dividere per x – a, scriveremo la seguente formula:

P : (x – a) = q + r

Nella formula, la lettera q sta per il quoziente della divisione mentre r sta per il resto, se esiste. Isolando il polinomio da dividere ricaviamo un’altra formula

P = (x – a) ∙ q + r

Cosa succede se al posto dell’incognita inseriamo l’opposto di -a? La formula diventa:

P(a) = (a – a) ∙ Q + R = 0 ∙ Q + R

P(a) = R

In questo caso, abbiamo inserito tra parentesi il valore che sostituisce la x accanto al simbolo P. E’ come se stiamo dicendo che quel polinomio avendo come valore dell’incognita a è uguale al suo resto della divisione.

Ma che dire se R risulta essere 0? In quel caso la divisione tra P e x -a non riporterebbe nessun resto, pertanto quel polinomio è interamente divisibile per x – a. Quanto detto sta alla base del teorema di Ruffini e serve per capire facilmente quando un polinomio è divisibile per un binomio di primo grado.

Scomposizione di un polinomio grazie al metodo di Ruffini

Inoltre, questo teorema ci permette di ricavare il divisore di un polinomio semplicemente trovando il termine noto. Dopo avere trovato un numero che rende il resto del polinomio uguale a 0 il suo opposto è il termine noto del divisore. Se, ad esempio, scopriamo che scrivendo al posto dell’incognita di un polinomio il numero 3 otteniamo come resto 0, sappiamo che quel polinomio è divisibile per x – 3. Facendo poi la divisione tramite la regola di Ruffini, abbiamo scomposto il polinomio in fattori.

Proviamo a scomporre 7x2 + 4x – 3. Innanzitutto dobbiamo ricavare quel numero che al posto di x rende il polinomio nullo. Useremo i termini divisibili per 3: ±1 e ±3

P(-1) = 7 ∙ (-1)2 + 4 ∙ (-1) – 3 = 7 – 4 + 3 = 0

Abbiamo scoperto che 7x2 + 4x – 3 è divisibile per x + 1. Facendo la divisione troveremo l’altro fattore necessario per scomporre il polinomio.

teorema e metodo di ruffini, esempio

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