Il teorema di Talete

Il teorema di Talete dice che se un fascio di rette parallele vengono tagliate da due trasversali, formeranno su di esse due gruppi di segmenti che saranno proporzionali tra loro.

Il fatto che questi due gruppi di segmenti, o classi di grandezze, siano direttamente proporzionali significa che a grandezze uguali al gruppo a sinistra corrisponda grandezze uguali al gruppo che si trova a destra. Prendendo come riferimento l’immagine sotto, se AB = CD allora anche A’B’ =C’D’.

Teorema di Talete dimostrazione

Dimostrazione del teorema di Talete

Riguardiamo l’immagine sopra per dimostrare il teorema di Talete. Abbiamo quattro rette parallele tagliate da due trasversali. Nei punti A e C tracciamo dei segmenti paralleli alla seconda trasversale. Abbiamo così costruito due triangoli: AFB e CGD.

Teniamo presente che abbiamo disegnato apposta le rette in modo che AB = CD. Inoltre, gli angoli B e D sono corrispondenti alle rette parallele tagliate dalla trasversale

Anche gli angoli A e C sono corrispondenti se si considerano le rette parallele AF e CG come se fossero tagliate dalla trasversale. Abbiamo quindi due triangoli che hanno uguali un lato e due angoli. AFB e CGD sono perciò uguali per il secondo criterio di congruenza.

Dato che AF = A’B’ e CG = C’D’ per costruzione, allora anche A’B’ = C’D’. In pratica basterebbe costruire su A’ e B’ i segmenti paralleli alla prima trasversale e ripetere il ragionamento basato sul criterio di parallelismo. Da qui deriva la proporzione:

AB : CD = A’B’ : C’D’

Infatti all’aumentare di AB aumenta anche A’B’, e al diminuire di AB diminuisce la lunghezza di A’B’. La stessa relazione c’è tra CD e C’D’.

Applicazioni

Il teorema di Talete ci permette di ricavare altri teoremi. Per esempio, possiamo dire che due triangoli aventi angoli uguali hanno i loro lati in proporzione e si definiscono simili. Infatti se mettiamo il primo triangolo all’interno del secondo, sembrerà come se i loro lati fossero due trasversali e le loro basi due rette parallele.

Triangoli simili

Siamo in grado anche di suddividere un segmento in parti uguali. Ci basterà tracciare una semiretta dal primo estremo di angolo qualsiasi e dividerla per il numero di parti che ci interessa. Congiungiamo l’estremo finale della semiretta con l’estremo finale del segmento e tracciamo le parallele del nuovo segmento su tutti i punti della semiretta. Infatti il segmento AB e la semiretta diventano le trasversali che tagliano le rette parallele.

Come dividere un segmento in parti uguali