Triangolo equilatero inscritto in una circonferenza

Triangolo equilatero inscritto in una circonferenza

Come disegnare un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza.

Disegniamo la nostra circonferenza e tracciamo le perpendicolari sul centro O. Puntiamo il nostro compasso sull’estremo D e tracciamo un arco di raggio OD. Questi saranno i vertici del triangolo.

Circonferenza divisa in tre parti uguali

Uniamo quindi i punti E, F e C e avremo costruito il triangolo equilatero inscritto alla circonferenza. Dato che i tre vertici hanno la stessa distanza dal centro della circonferenza, che è anche uguale al raggio, i tre lati del triangolo, che corrispondono anche alle corde della circonferenza, sono uguali come anche i settori del cerchio corrispondenti. Abbiamo così diviso la circonferenza in tre parti uguali.

Le corde sono i segmenti che uniscono due punti qualsiasi della circonferenza.

Triangolo equilatero inscritto alla circonferenza: costruzione

Vediamo adesso alcune caratteristiche di questo triangolo equilatero. Unendo i vertici con il centro della circonferenza otteniamo tre triangoli isosceli e tra loro congruenti. Inoltre, dato che abbiamo diviso la circonferenza in 3 parti uguali, con corde uguali e settori uguali, abbiamo di conseguenza anche gli angoli al centro uguali e che misurano esattamente 120° (360/3). Gli angoli alla circonferenza, che corrispondono agli angoli del triangolo equilatero, saranno quindi la metà, 60°.

Vedi anche: Criteri di congruenza, o di isometria, dei triangoli

Triangolo equilatero inscritto in una circonferenza, caratteristiche e formula del lato

Per sapere quanto è lungo il lato del triangolo, basterà tracciare la perpendicolare OI. Abbiamo così il triangolo rettangolo EOI. Notiamo che l’ipotenusa è uguale al raggio del cerchio (r) e l’altezza del triangolo rettangolo è uguale alla metà del raggio (ricordiamo che prima abbiamo disegniamo la semicirconferenza).

Per il teorema di Pitagora, sappiamo che l’ipotenusa è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati dei cateti.

Un cateto è invece uguale alla radice quadrata della differenza tra il quadrato dell’ipotenusa e quello dell’altro cateto.

La formula però vale per metà del lato di un triangolo equilatero. Il lato intero sarà uguale perciò al raggio della circonferenza per la radice quadrata di 3:

Formula del lato di un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza.

Per ricavare l’altezza del triangolo equilatero basterà sommare il raggio all’altezza del triangolo rettangolo:

A questo punto possiamo ricavare la formula dell’area:

Formule

Abbiamo visto che basta avere il raggio della circonferenza per trovare il lato, l’altezza e l’area del triangolo equilatero inscritto in essa.

Rivediamo le formule semplificate, compresa quella del perimetro:

Formule del triangolo equilatero inscritto in una circonferenza: lato, altezza, perimetro e area.