Il triangolo equilatero inscritto in una circonferenza è un poligono con lati della stessa lunghezza i cui vertici si sovrappongono ai punti di una circonferenza e la cui distanza dal suo centro ne rappresenta il raggio.
Nell’articolo vediamo come si costruisce un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza e quali sono le formule per ricavare gli elementi incogniti.
Come disegnare un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza.
Per costruire un triangolo equilatero che si inscritto in una circonferenza dobbiamo innanzitutto tracciare le perpendicolari e che passano per il centro del cerchio. Puntiamo il nostro compasso sull’estremo in basso e tracciamo un arco che abbia lo stesso raggio della circonferenza. I punti di incontro tra questo arco con la circonferenza e l’estremo più in alto della perpendicolare che ha direzione orizzontale sono i vertici del triangolo.
Dopo avere unito i tre punti avremo costruito il triangolo equilatero inscritto alla circonferenza. Dato che i tre vertici hanno la stessa distanza dal centro della circonferenza, la cui lunghezza rappresenta il raggio, i tre lati del triangolo, che corrispondono anche alle corde della circonferenza, sono uguali come anche i settori del cerchio corrispondenti. Abbiamo così diviso la circonferenza in tre parti uguali. Per potere fare tutto questo su un foglio occorrono le squadrette da 45° e da 30°/60° e un compasso, come quelli inclusi nel Kit venduto da Amazon.
Le corde sono i segmenti che uniscono due punti qualsiasi della circonferenza.
Proprietà e formule del triangolo equilatero
Vediamo adesso alcune caratteristiche di questo triangolo equilatero. Unendo i vertici con il centro della circonferenza otteniamo tre triangoli isosceli e tra loro congruenti. Inoltre, dato che abbiamo diviso la circonferenza in 3 parti uguali, con corde uguali e settori uguali, abbiamo di conseguenza anche gli angoli al centro uguali e che misurano esattamente 120° (360/3). Gli angoli alla circonferenza, che corrispondono agli angoli del triangolo equilatero, saranno quindi la metà, 60°.
Vedi anche: Criteri di congruenza, o di isometria, dei triangoli
Per sapere quanto è lungo il lato del triangolo, basterà tracciare la perpendicolare che passa dal centro della circonferenza ad uno dei tre lati. Abbiamo costruito un triangolo rettangolo i cui cateti sono la distanza del centro sul lato e il lato formato dalla proiezione ortogonale del centro con uno dei vertici. Notiamo che l’ipotenusa è uguale al raggio del cerchio (r) e che l’altezza del triangolo rettangolo è uguale alla metà del raggio (ricordiamo che prima abbiamo disegniamo la semicirconferenza).
Per il teorema di Pitagora, sappiamo che l’ipotenusa è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati dei cateti.
Un cateto è invece uguale alla radice quadrata della differenza tra il quadrato dell’ipotenusa e quello dell’altro cateto.
La formula però vale per metà del lato di un triangolo equilatero. Il lato intero sarà uguale perciò al raggio della circonferenza per la radice quadrata di 3:
Per ricavare l’altezza del triangolo equilatero basterà sommare il raggio all’altezza del triangolo rettangolo:
A questo punto possiamo ricavare la formula dell’area:
Formule
Abbiamo visto che basta avere il raggio della circonferenza per trovare il lato, l’altezza e l’area del triangolo equilatero inscritto in essa.
Rivediamo le formule semplificate, compresa quella del perimetro:
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