Le funzioni composte sono relazioni tra due funzioni applicate sui rispettivi domini ma aventi codominio in comune dove la seconda funzione può essere applicata su alcuni risultati della prima funzione.
Date due funzioni che hanno ciascuno il proprio dominio e come codominio il campo dei numeri reali, e tali che l’intersezione tra la funzione applicata sul primo insieme con l’insieme del secondo dominio non è vuoto, definiamo funzione composta della prima con la seconda l’applicazione della seconda funzione dopo avere applicato la prima sugli elementi dell’intersezione.
Data una funzione \(f: A \to \mathbb{R}\) e una funzione \(g: B \to \mathbb{R}\) e tali che \(f(A) \cap B \neq \emptyset\), la funzione composta \(g \circ f: f(A) \cap B \to \mathbb{R}\) è definita come:
\[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) \quad \forall x \in f: (A) \cap B \]Come vediamo, non è necessario che l’elemento del primo insieme appartenga al secondo ma è necessario che il risultato della funzione definita nel primo insieme appartenga al dominio della seconda funzione. Possiamo anche definire l’insieme di tutti gli elementi del primo dominio il cui risultato appartiene al secondo insieme e semplificare la definizione di funzioni composte:
\[ f: A \to \mathbb{R}, \quad g: B \to \mathbb{R}, \quad A’ = \{x \in A: f(x) \in B\} \] \[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) \quad \forall x \in A’ \]Possiamo anche comporre tre o più funzioni, l’importante è che alcuni risultati della composizione delle funzioni precedenti a quella da comporre appartengano al dominio di quest’ultima:
\[ f: A \to \mathbb{R}, \quad g: B \to \mathbb{R}, \quad h: C \to \mathbb{R} \] \[ A’ = \{x \in A: f(x) \in B\} \neq \emptyset, \quad A” = \{x \in A’: g(f(x)) \in C\} \neq \emptyset \] \[ (h \circ g \circ f)(x) = h(g(f(x))) \quad \forall x \in A” \]In generale, la composizione di funzioni non è commutativa cioè la composizione della prima con la seconda funzione non da lo stesso risultato della funzione composta della seconda con la prima, perché in quest’ultimo caso bisogna verificare che il risultato della seconda funzione sul proprio dominio appartenga al dominio della prima.
Invece, la composizione di tre o più funzioni gode della proprietà associativa. Indipendentemente da quali funzioni componiamo prima perché in ogni caso il risultato ottenuto appartiene al dominio dell’ultima funzione.
\[ f: A \to \mathbb{R}, \quad g: B \to \mathbb{R}, \quad h: C \to \mathbb{R} \] \[ A’ = \{x \in A: f(x) \in B\} \neq \emptyset, \quad A” = \{x \in A’: g(f(x)) \in C\} \neq \emptyset \] \[ ((h \circ g) \circ f)(x) = (h \circ g)(f(x)) = h(g(f(x))) \quad \forall x \in A” \] \[ (h \circ (g \circ f))(x) = h((g \circ f)(x)) = h(g(f(x))) \quad \forall x \in A” \]