Una funzione monotona è una relazione tra due insiemi che segue un preciso ordine. Presi due elementi del dominio con il primo minore del secondo se anche la funzione applicata sul primo elemento è minore o uguale alla stessa applicata sul secondo allora si dice crescente, altrimenti si dice decrescente. Una funzione viene chiamata strettamente monotona nel caso in cui la funzione applicata sul primo elemento è strettamente minore o strettamente maggiore, quindi mai uguale, a quella applicata sul secondo elemento.
Definizione formale di funzione crescente
\[ \forall x,y \in A \quad x < y \implies f(x) \leq f(y) \]Definizione formale di funzione strettamente crescente
\[ \forall x,y \in A \quad x < y \implies f(x) < f(y) \]Definizione formale di funzione decrescente
\[ \forall x,y \in A \quad x < y \implies f(x) \geq f(y) \]Definizione formale di funzione strettamente decrescente
\[ \forall x,y \in A \quad x < y \implies f(x) > f(y) \]Da quanto abbiamo appena visto, se una funzione è monotona crescente, allora ci sono casi in cui presi due elementi ordinati da un insieme la funzione applicata su entrambi da lo stesso risultato. Invece questo non può succedere quando la funzione è strettamente crescente. Lo stesso discorso vale quando si parla di funzioni decrescenti.
Per verificare che una funzione non è crescente bisogna trovare due elementi dell’insieme, uno minore dell’altro per cui non si verifica che la funzione applicata sul primo elemento è maggiore della stessa applicata sull’altro elemento, quindi . Invece per dimostrare che una funzione non è strettamente crescente basta trovare per la stessa coppia di elementi un caso in cui la funzione applicata sul primo è maggiore o uguale a quella applicata sul secondo elemento.
\[ f: A \to \mathbb{R} \]Dimostrare che una funzione non è crescente o strettamente crescente
\[ \exists x,y \in A \quad x < y \land f(x) > f(y) \]Dimostrare che una funzione non è strettamente crescente
\[ \exists x,y \in A \quad x < y \land f(x) \geq f(y) \]Ci possono essere casi in cui una funzione è sia crescente che decrescente: la funzione costante. Infatti preso qualunque elemento dell’insieme il risultato è sempre lo stesso. Ma non può capitare che una funzione sia allo stesso tempo strettamente crescente e strettamente decrescente perché ciascuna condizione esclude l’altra.
\[ f: A \to \mathbb{R} \] \[ f(x) = c \quad c \in \mathbb{R} \] \[ \forall x,y \in A \quad x < y \implies f(x) = c \leq c = f(y) \]Altre funzioni non sono monotone preso tutto l’insieme ma possono esserlo su degli intervalli dell’insieme. Ad esempio la funzione che preso un numero reale ne calcola il quadrato non è né crescente né decrescente in tutto il campo dei numeri reali. Però è monotona decrescente applicata sul’intervallo ]-∞,0] e crescente nell’intervallo [0,∞[.
Le funzioni strettamente monotono anche iniettive. Infatti presi due elementi diversi di un insieme, con il primo minore del secondo, o la funzione applicata sul primo è minore di quella applicata sul secondo e quindi è strettamente crescente oppure è maggiore di quella applicata sul secondo e quindi è strettamente decrescente. Ma i risultati della stessa funzione applicata su elementi diversi non possono mai essere uguali proprio per definizione.
Invece il teorema menzionato sopra non vale al contrario. Ci sono funzioni iniettive che non sono monotone come quella del reciproco di un numero.