Grandezze omogenee: cosa sono e come si usano

Le grandezze omogenee sono quelle che possono essere confrontate tra loro perché hanno la stessa natura e la stessa unità di misura. Ad esempio, il tempo, la lunghezza, la massa, la forza e la velocità sono grandezze omogenee, mentre il colore, il sapore, l’odore e il suono non lo sono.

Per operare con le grandezze omogenee, bisogna seguire alcune regole:

• Si possono sommare o sottrarre solo grandezze omogenee tra loro. Il risultato sarà una grandezza della stessa natura e della stessa unità di misura delle grandezze date. Ad esempio, se sommiamo 3 metri e 5 metri, otteniamo 8 metri, che è una lunghezza. Se invece proviamo a sommare 3 metri e 5 secondi, non ha senso, perché sono grandezze di natura diversa.
• Si possono moltiplicare o dividere grandezze omogenee o disomogenee tra loro. Il risultato sarà una grandezza di natura diversa e di unità di misura diversa dalle grandezze date. Ad esempio, se moltiplichiamo 3 metri per 5 secondi, otteniamo 15 metri per secondo, che è una velocità. Se invece dividiamo 3 metri per 5 metri, otteniamo 0,6, che è un numero puro, senza unità di misura.
• Si possono elevare a potenza o estrarre la radice di una grandezza omogenea. Il risultato sarà una grandezza della stessa natura ma di unità di misura diversa dalla grandezza data. Ad esempio, se eleviamo al quadrato 3 metri, otteniamo 9 metri quadrati, che è un’area. Se invece estraiamo la radice quadrata di 9 metri quadrati, otteniamo 3 metri, che è una lunghezza.

Grandezze geometriche omogenee e proporzioni

Le grandezze geometriche sono le misure di elementi geometrici, come lunghezze, aree, volumi, angoli, ecc. Due grandezze geometriche si dicono omogenee se sono dello stesso tipo, cioè se si possono confrontare tra loro. Per esempio, due lunghezze sono omogenee, ma una lunghezza e un’area non lo sono.

Le proporzioni sono delle uguaglianze tra rapporti di grandezze omogenee. Un rapporto è il quoziente tra due grandezze dello stesso tipo. Per esempio, il rapporto tra la base e l’altezza di un triangolo è una frazione che indica quante volte la base contiene l’altezza. Una proporzione ha la forma:

a : b = c : d

dove a, b, c e d sono grandezze omogenee. Questa proporzione si legge “a sta a b come c sta a d” e significa che il rapporto tra a e b è uguale al rapporto tra c e d.

Le proporzioni sono molto utili per risolvere problemi di geometria, in particolare quelli che riguardano le figure simili. Due figure si dicono simili se hanno la stessa forma ma dimensioni diverse, cioè se sono ottenute l’una dall’altra con una trasformazione che mantiene gli angoli e i rapporti tra le lunghezze dei lati. Per esempio, due triangoli sono simili se hanno gli angoli uguali e i lati proporzionali.

Se due figure sono simili, allora si può stabilire una proporzione tra le loro grandezze omogenee corrispondenti. Per esempio, se due triangoli simili hanno le basi b1 e b2 e le altezze h1 e h2, allora vale la proporzione:

b1 : b2 = h1 : h2

Questa proporzione ci permette di calcolare una delle quattro grandezze se conosciamo le altre tre. Per esempio, se sappiamo che b1 = 6 cm, b2 = 9 cm e h1 = 4 cm, possiamo trovare h2 con una semplice regola di tre:

In conclusione, le grandezze geometriche omogenee e le proporzioni sono concetti fondamentali per la geometria, che ci aiutano a studiare le relazioni tra le misure delle figure simili.