Per insieme denso, in matematica, si intende un insieme di oggetti per cui presi due elementi qualsiasi dell’insieme ne esiste almeno un altro tra loro. Questo in realtà implica che tra i due elementi ce ne sono infiniti altri.
Gli insiemi che soddisfano questa condizione sono il campo dei numeri razionali, il campo dei reali e il campo dei numeri complessi. Questo si può dedurre già dal fatto che i numeri razionali sono un sottoinsieme dei reali che sono inclusi nell’insieme dei numeri complessi.
Parliamo perciò delle frazioni. La proprietà di densità dei numeri razionali dice che prese due frazioni qualsiasi c’è sempre un’altra frazione e di conseguenza tra due frazione ce ne sono infinite almeno per il totale dei numeri naturali (infiniti).
\[ \forall x,y \in \mathbb{Q} \quad x < y \implies \exists z \in \mathbb{Q} \quad x < z < y \]Vediamo la dimostrazione. Presi due numeri razionali qualsiasi e diversi tra loro, uno è minore dell’altro. Prendiamo il reciproco della loro differenza, che esiste. Per la proprietà di Archimede esiste un numero naturale maggiore di qualsiasi elemento dei numeri razionali, quindi anche del reciproco che stiamo considerando.
\[ x \lt y \implies y \gt x \implies \exists \frac{1}{y-x} \in \mathbb{Q} \] \[ \exists n \in \mathbb{N} \quad (n \geq 2): \] \[ n \gt \frac{1}{y – x} \quad \text{per il principio di Archimede} \]A questo punto, sviluppando la disequazione di primo grado scopriamo che il prodotto tra il numero e la frazione più grande è maggiore anche del successivo dell’altra frazione.
\[ n(y – x) \gt 1 \implies ny – nx \gt 1 \implies \] \[ \color{red}{ny \gt nx + 1} \]Inoltre, sempre come corollario della proprietà di Archimede, una frazione è sempre compresa tra uno specifico numero intero e il suo successivo (o precedente). Quindi esiste un intero (positivo o negativo) tale che il prodotto del numero naturale preso prima con la frazione più piccola è minore dell’intero ma maggiore del precedente. Di conseguenza esiste un intero che è minore del successore del prodotto del numero naturale con la frazione più piccola che è minore del prodotto dello stesso numero con la frazione più grande. Di conseguenza il rapporto tra il numero intero e il numero naturale è la frazione compresa tra i due numeri razionali.
\[ \exists m \in \mathbb{Z} \quad m – 1 \leq nx \lt m \] \[ \implies \begin{cases} nx \lt m \\ m \leq nx + 1 \end{cases} \] \[ \implies nx \lt m \leq nx +1 \lt ny \] \[ \implies x \lt \frac{m}{n} \lt y \] \[ z = \frac{m}{n} \in \mathbb{Q} \]Quello che abbiamo appena detto vale anche per i numeri reali, ma dato che anche i numeri irrazionali sono un sottoinsieme dei reali, il campo è denso solo se anche l’insieme dei numeri irrazionali è denso. Per dimostrarlo dobbiamo tenere conto di questo teorema: la somma di un numero razionale e irrazionale è un numero irrazionale.
La dimostrazione è abbastanza semplice: ragioniamo partendo dal presupposto che la loro somma sia una frazione. Inoltre esiste l’opposto del numero razionale e sommando l’opposto alla somma del numero razionale e irrazionale rimane soltanto il numero irrazionale. Però noi stiamo sommando per assurdo due frazioni, la somma dei numeri coinvolti e l’opposto di una frazione. Quindi c’è una contraddizione e la somma dei due numeri è irrazionale.
\[ \forall x \in \mathbb{Q}, y \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \quad x + y \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \]Dimostrazione:
\[ x + y \in \mathbb{Q} \implies y = (x + y) – x \in \mathbb{Q} \quad \text{contraddizione} \]Adesso possiamo dimostrare anche l’insieme dei numeri irrazionali è denso nei reali. Anche qui partiamo dal presupposto che esista e presi due reali diversi sommiamo il suo opposto sia al primo numero che al secondo. Sappiamo per la densità dei numeri razionali che c’è sempre una frazione tra due numeri reali e di conseguenza il numero reale minore è più piccolo della somma tra la frazione e il numero irrazionale che è minore del numero reale maggiore.
\[ \forall x,y \in \mathbb{R} \quad x \lt y \implies \exists z \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \quad x \lt z \lt y \] \[ I \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \implies \exists -I \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \] \[ x \lt y \implies x – I \lt y – I \] \[ \exists k \in \mathbb{Q} \quad x – I \lt k \lt y – I \] \[ x \lt k + I \lt y \] \[ k + I \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \]