Dato un insieme nell’ambito matematico, è possibile stabilire se contiene o se esistono alcuni elementi specifici utili nello studio delle funzioni matematiche. In questo testo, daremo la definizione di insieme limitato e illimitato, di minimo e massimo e di estremo inferiore e superiore.
I concetti indicati valgono per qualunque tipo di insieme. Il concetto di minimo e massimo viene definito se è già stata definita l’operazione di ordinamento all’interno dell’insieme. Preso un insieme si chiama minimo, se esiste, l’elemento dell’insieme che è in relazione con tutti gli altri mentre si chiama massimo l’elemento, se esiste, tale che tutti gli altri elementi sono in relazione con lui.
Dato che spesso nell’ordinamento si parla un elemento è minore, uguale o maggiore ad un altro, il minimo è l’elemento che è minore o uguale a tutti gli altri e il massimo è l’elemento il quale tutti gli elementi sono minori o uguali a lui.
\[ A \subseteq \mathbb{N} \quad A \neq \emptyset \implies \exists m \in A: m \leq n, \forall n \in A \] \[ m = min(A) \] \[ A \subseteq \mathbb{N} \quad A \neq \emptyset \implies \exists M \in A: n \leq M, \forall n \in A \] \[ M = max(A) \]Possiamo prendere qualsiasi sottoinsieme dei numeri naturali o dei reali finito o infinito. Spesso quando un sottoinsieme racchiude tutti i numeri compresi da due reali, parliamo di intervallo e lo chiamiamo chiuso o aperto a seconda se i due numeri, chiamati estremi sono compresi nell’insieme.
Un intervallo chiuso si indica con le parentesi quadre aperta e chiusa agli estremi, ad esempio [1,4] ⊂ ℝ indica l’insieme che contiene tutti i numeri reali compresi tra 1 e 4, estremi inclusi. Invece l’intervallo ]1,4[ esclude gli estremi. Inoltre, entrambi gli intervalli sono limitati. Possiamo anche avere un intervallo chiuso da un lato e aperto dall’altro. Sotto possiamo vedere come si definiscono gli elementi di ciascun intervallo.
\[ A = [a,b] = \{ x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b \} \] \[ \exists min(A) = a \] \[ \exists max(A) = b \] \[ A = ]a,b[ = \{ x \in \mathbb{R} : a \lt x \lt b \} \] \[ \nexists min(A), \nexists max(A) \] \[ A = [a,b[ = \{ x \in \mathbb{R} : a \leq x \lt b \} \] \[ \exists min(A) = a \] \[ \nexists max(A) \]\[ A = ]a,b] = \{ x \in \mathbb{R} : a \lt x \leq b \} \] \[ \nexists min(A) \] \[ \exists max(A) = b \]Notiamo anche che alcuni intervalli non hanno estremi. Ad esempio, un intervallo aperto e limitato non ha né minimo e neppure massimo mentre un intervallo chiuso e limitato li ha entrambi. Un intervallo limitato chiuso a sinistra e aperto a destra ha il minimo e non ha il massimo mentre se è aperto a sinistra e chiuso a destra è il contrario.
Un intervallo si dice illimitato se comprende tutti i numeri reali sia da sinistra che da destra, essendo infiniti. Invece si dice illimitato a sinistra e limitato a destra se ha il massimo mentre si dice illimitato a destra e limitato a sinistra se ha il minimo.
\[ A = ]-\infty, +\infty[ = \{ x \in \mathbb{R} : -\infty \lt x \lt +\infty \} \] \[ A = ]-\infty, b] = \{ x \in \mathbb{R} : -\infty \lt x \leq b \} \] \[ A = [a, +\infty[ = \{ x \in \mathbb{R} : a \leq x \lt +\infty \} \]Inf, sup, maggioranti e minoranti di un insieme
Preso un sottoinsieme dei numeri reali (vale anche per i numeri naturali), possiamo mettere in relazione anche gli elementi del campo che non appartengono al sottoinsieme.
Qualunque numero reale che non appartiene all’insieme è minore o uguale agli elementi dell’insieme viene chiamato minorante mentre qualunque numero maggiore o uguale a tutti gli elementi dell’insieme viene chiamato maggiorante. Abbiamo così’ definito l’insieme dei minoranti e l’insieme dei maggioranti.
\[ A \subseteq \mathbb{R} \] \[ A_* = \{ x \in \mathbb{R} : x \leq a, \forall a \in A \} \] \[ A^* = \{ x \in \mathbb{R} : x \geq a, \forall a \in A \} \]Il massimo dell’insieme dei minoranti di un insieme viene chiamato inf dell’insieme ed è anche il minimo dell’insieme se è contenuto in esso (nel caso di un intervallo chiuso e limitato) mentre il minimo dei maggioranti viene chiamato sup dell’insieme ed è anche il suo massimo se lo contiene.
Ad esempio preso di nuovo l’intervallo [1,4] ⊂ ℝ, possiamo stabilire che i minoranti sono i numeri minori o uguali a 1, 1 è l’inf dell’intervallo ed è anche il suo minimo mentre l’insieme dei maggioranti contiene tutti i numeri maggiori o uguali a 4, il quale è anche il sup e il massimo dell’intervallo.
Se invece prendiamo l’intervallo aperto ]1,4[ ⊂ ℝ valgono le stesse cose dell’intervallo chiuso con l’unica differenza che in questo caso l’inf e il sup non appartengono all’intervallo e che quest’ultimo non ha minimo e neppure massimo.