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Il metodo di sostituzione

Il metodo di sostituzione è uno dei procedimenti utilizzati per risolvere i sistemi di equazioni e consiste nel ricavare la formula per calcolare un’incognita e sostituirla all’altra equazione del sistema. In questo modo un’incognita si trova in funzione di un’altra. Dopo avere ricavato il vero valore della seconda incognita, si sostituisce questo valore all’incognita della formula iniziale per risolvere il sistema.

Un sistema è un insieme di due o più equazioni il cui scopo è ricavare quei valori che sostituiti alle incognite rendono vere entrambe le equazioni. Nel caso in cui ha infinite soluzioni viene chiamato indeterminato mentre nel caso non ci siano soluzioni viene definito impossibile.

Le equazioni si trovano una sotto l’altra all’interno di una grande parentesi graffa. Si sceglie una delle due equazioni per ricavare la formula della prima incognita, la si sostituisce come valore al posto della relativa lettera nella seconda equazione e si procede con la risoluzione. Altre procedure per risolvere i sistemi sono il metodo di riduzione, quello del confronto e la regola di Cramer.

Risoluzione di un sistema con il metodo di sostituzione

E’ molto utile riportare un sistema in forma normale, come mostrato sotto, prima di applicare la sostituzione. In questo modo sarà facile ricorrere ai successivi passaggi nella risoluzione del sistema.

sistema lineare ridotto in forma normale

Questo rende molto più semplice la risoluzione di un sistema. Si può fare questo procedendo con tutte le operazioni possibili tra i termini delle equazioni in modo da avere un solo valore per ciascuna incognita e il termine noto.

A questo punto, si sceglie l’equazione che permette di ricavare la formula più semplice e si procede con la sostituzione nella seconda equazione. Dopo avere fatto alcuni calcoli, si potrà ricavare il vero valore dell’incognita e utilizzarlo per risolvere completamente il sistema. Sotto viene riportato un esempio.

metodo di sostituzione sistema lineare

Anche nel caso ci siano più di due equazioni è possibile procedere con la sostituzione facendo ciò passo passo. Questo metodo può anche essere abbinato con gli altri indicati sopra.