I numeri complessi sono un insieme che contiene i numeri reali e un altro insieme di numeri ottenuti dai reali ma che non seguono le regole del campo dei numeri reali. L’insieme dei numeri complessi è anch’esso un campo ma non è ordinato. In questo testo daremo la definizione di numero complesso, definiremo le operazioni binarie del campo e come dall’operazione di prodotto otteniamo un nuovo insieme di numeri.
L’insieme dei numeri complessi è il prodotto cartesiano di due insiemi dei numeri reali; quindi viene un numero complesso viene indicato come una coppia di reali che includono anche numeri razionali, irrazionali e interi.
\[ \mathbb{C} = \mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2 \] \[ \mathbb{C} = \{ (a,b) : a,b \in \mathbb{R} \} \] \[ \text{Ad esempio} \quad (4,3), (\sqrt{2}, 1), (-4, 1/x) \quad \text{sono tutti numeri complessi} \]Definiamo adesso l’operazione binaria di addizione. Presi due numeri complessi, ciascuno formato da una coppia di numeri reali, la somma dei due numeri è uguale a un numero complesso che ha come primo elemento la somma dei primi elementi e come secondo la somma dei secondi elementi delle due coppie.
\[ (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d) \]L’elemento neutro rispetto l’addizione è la coppia (0,0) mentre l’opposto di un numero complesso è la coppia formata dagli opposti dei suoi numeri reali.
Definiamo adesso l’operazione binaria di moltiplicazione. Presi due numeri complessi, ciascuno formato da una coppia di numeri reali, il prodotto dei due numeri è uguale a un numero complesso che ha come primo elemento la differenza tra il prodotto dei primi elementi e il prodotto dei secondi elementi e come secondo elemento la somma tra il prodotto del primo elemento del primo numero complesso con il secondo elemento del secondo numero complesso e il prodotto del secondo elemento del primo numero complesso con il primo elemento del secondo numero complesso.
\[ (a,b) \cdot (c,d) = (ac – bd, ad + bc) \]L’elemento neutro della moltiplicazione è il numero (1,0).
Possiamo scrivere un numero (x,0) come x definendo un funzione che ha come dominio i reali e codominio i complessi iniettiva e suriettiva in questo modo:
\[ f: \mathbb{R} \to \mathbb{C}, f(x) = (x,0) \] \[ f(x) = f(y) \implies (x,0) = (y,0) \implies x = y \] \[ f^{-1}((x,0)) = x \]Notiamo che la funzione applicata sulla somma di due reali è uguale alla somma della stessa applicata sui singoli numeri:
\[ f(x + y) = (x + y, 0) = (x,0) + (y,0) = f(x) + f(y) \]Troviamo adesso l’opposto di un numero rispetto la moltiplicazione. Se moltiplichiamo l’elemento neutro su una coppia di reali otteniamo che l’opposto è la coppia che ha al primo posto l’opposto del secondo numero reale e al secondo posto il primo numero. Se il secondo numero è 0, allora anche il primo numero dell’opposto è 0.
\[(0,1) \cdot (a,b) = (-b,a) \] \[(0,1) \cdot (a,0) = (0,a) \]Ma che succede se moltiplichiamo l’elemento neutro rispetto al prodotto con se stesso? E qui che l’argomento si fa interessante. Infatti, otteniamo la coppia (-1,0) cioè -1. Quindi esiste un numero complesso il cui quadrato è -1.
\[(0,1) \cdot (0,1) = (-1,0) = -1 \] \[(0,1) = y \implies i \cdot i = -1 \implies y^2 = -1 \]Quindi la radice quadrata di -1 è il numero complesso (0,1).
Potrebbe sembrare un errore o che il calcolo non possa essere fatto ma qui non siamo nel campo dei reali ma nel campo ℝ2. Inoltre, il risultato non deriva dalla divisione tra due reali ma dal prodotto. Quindi esistono numeri che non fanno parte dei reali. Il numero complesso (0,1) viene indicato con la lettera i e rappresenta la parte immaginaria di un numero complesso. Viene chiamata immaginaria non perché non esista ma perché non rientra nei numeri reali.
L’unità immaginaria ha la proprietà di ottenere un numero reale se moltiplicato con un numero immaginario. Però non si può confrontare con un numero reale. Non è uguale a 0 perché il suo quadrato è -1 che è diverso dal quadrato di 0. Ma non è neppure maggiore o minore di 0. Ecco perché non ci può essere un ordine totale nel campo dei numeri complessi.
A questo punto il secondo numero della coppia dei reali che rappresenta un numero complesso è il coefficiente della parte immaginaria. Così (0,2) rappresenta 2i e (3,4) si scrive 3 + 4i.