Proporzioni matematiche

Le proporzioni sono relazioni matematiche che coinvolgono quattro numeri o grandezze, scritte nella forma a : b = c : d. Una proporzione è un’uguaglianza tra il rapporto di due grandezze ed il rapporto di altre due grandezze, e soddisfa alcune proprietà che permettono di effettuare i calcoli con le quantità coinvolte.

Cos’è una proporzione?

Una proporzione non è nient’altro che un’uguaglianza tra due rapporti (divisioni). Se abbiamo quattro numeri o grandezze a, b, c, d e scriviamo

a : b = c : d

Stiamo considerando un’uguaglianza tra il rapporto (divisione) tra a e b e il rapporto tra c e d. Un modo alternativo di scrivere la precedente uguaglianza è

a/b = c/d

A che cosa servono le proporzioni matematiche?

Le proporzioni servono a esprimere una relazione di uguaglianza tra due coppie di numeri o grandezze che stanno nello stesso rapporto tra loro. Non è importante quali siano, separatamente, i numeri a, b, c, d. Ciò che conta è il risultato delle divisioni a/b e c/d.

Esempio:

80 sta a 40 come 2 sta a 1. Infatti:

80/40=2/1=2

Quindi possiamo scrivere la proporzione

80 : 40 = 2 : 1

Le proporzioni sono utili nella vita di tutti i giorni per risolvere problemi che riguardano quantità proporzionali tra loro. Per esempio, se vogliamo sapere quanto dobbiamo pagare per comprare una certa quantità di un prodotto, possiamo usare le proporzioni.

Esempio: Se 2 kg di mele costano 4 euro, quanto costano 3 kg di mele?

Dato che il costo è proporzionale al peso, possiamo scrivere la proporzione

2:4=3:x

dove x è il costo sconosciuto da trovare. Per risolvere la proporzione, dobbiamo usare una delle proprietà che vedremo tra poco.

Come si calcola una proporzione?

Per calcolare una proporzione, dobbiamo conoscere almeno tre dei quattro numeri o grandezze coinvolti. Il quarto numero si può trovare usando una delle proprietà delle proporzioni.

Quali sono le proprietà delle proporzioni?

Le proporzioni hanno diverse proprietà matematiche che ci aiutano a risolvere i problemi e gli esercizi con le proporzioni. Prima di tutto, dobbiamo sapere che i quattro numeri o grandezze coinvolti in una proporzione hanno dei nomi specifici:

a e d si chiamano estremi della proporzione, perché si trovano alle estremità dell’uguale
b e c si chiamano medi della proporzione, perché si trovano vicino all’uguale

Le proprietà delle proporzioni sono le seguenti:

Proprietà fondamentale: il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. In simboli:

bc = ad

Questa proprietà ci permette di trovare il quarto termine mancante in una proporzione se conosciamo gli altri tre. Basta fare una semplice operazione di prodotto e divisione.

Esempio: Se 2:4=3:x, possiamo trovare x usando la proprietà fondamentale:

4x=23
x=(2*3)/4
x=1.5

Quindi 3 kg di mele costano 1.5 euro.

Proprietà dell’invertire: se invertiamo i medi con gli estremi, la proporzione non cambia. In simboli:

b:a=d:c

Questa proprietà ci permette di scrivere una proporzione in modo equivalente.