Il trinomio speciale

Il trinomio speciale

Il trinomio speciale è un polinomio di secondo grado formato da tre termini in cui il coefficiente del termine di primo grado è la somma dei fattori del termine noto.

Un esempio è x2 + 5x + 6, dove 5 è la somma di 2 e 3 che sono anche i fattori di 6. Questo vale anche per x2 – 5x + 6, dove il termine noto è il prodotto tra due numeri negativi, in questo caso -2 e -3, la cui somma è il coefficiente di x anch’esso negativo.

Per scomporre un trinomio speciale è sufficiente fare il prodotto tra le somme dell’incognita con i due termini trovati nel caso in cui il termine di secondo grado non ha coefficienti superiori o inferiori a 1.

Scomposizione di un trinomio speciale

Vediamo una dimostrazione scomponendo x2 + 7x + 12. I fattori di 12 sono 4 e 3, oppure 2 e 6 ma soltanto la somma dei primi due fattori da 7, il coefficiente dell’incognita. Scomponiamo i due numeri:

x2 + 7x + 12 =

x2 + 4x + 3x + 4 ∙ 3 =

A questo punto si può procedere con un raccoglimento parziale: si tratta di un metodo per scomporre i polinomi in cui raccogliamo i fattori comuni tra alcuni termini del polinomio.

x2 + 4x + 3x + 4 ∙ 3 =

x (x+ 4) + 3(x + 4) =

Possiamo notare adesso che tra i termini del nuovo polinomio la somma tra x e 4 è comune. Facciamo di nuovo un raccoglimento, stavolta totale perché avviene tra tutti i termini del polinomio.

(x + 3) (x + 4)

E se il trinomio avesse un coefficiente anche nel termine di secondo grado? Proviamo a scomporre 2x2 + 9x + 10.

Questa volta non dobbiamo trovare i fattori del termine noto ma del suo prodotto con il coefficiente del termine di secondo grado, quindi di 20. Tra le varie possibilità abbiamo anche il prodotto tra 4 e 5 la cui somma è 9. A questo punto si scompone soltanto il termine di primo grado.

2x2 + 4x + 5x + 10

Si procede di nuovo con un raccoglimento parziale:

2x (x + 2) + 5 (x + 2)

(2x +5) (x + 2)

I fattori di un trinomio speciale variano a secondo dei segni e dei coefficienti dei termini di quel polinomio.

Se i coefficienti sono delle lettere

Per scomporre un trinomio speciale dobbiamo sempre operare su una sola variabile, una sola incognita, in modo da considerare le altre lettere come dei coefficienti. Poniamo il caso di dovere scomporre x2 + 5ax + 6a.

In questo caso, dato che x compare anche nel trinomio di secondo grado, consideriamo tutto il resto come coefficiente. Il termine noto è 6a che è il prodotto anche di 2a e 3a. Dato che sommati tra loro, fanno 5a questi sono i due fattori che stiamo cercando per scomporre il polinomio.

x2 + 5ax + 6a

x2 + 2ax + 3ax + 2a ∙ 3a

x (x + 2a) + 3a (x + 2a)

(x + 3a) + (x + 2a)