Le equazioni parametriche sono equazioni letterali di cui non ci interessa conoscere il valore dell’incognita ma piuttosto ci soffermiamo sui parametri; ci interessa sapere per quali valori dei parametri quell’equazione è vera.
Anche se non ci interessa conoscere le soluzioni dell’equazione, poniamo però alcune condizioni. Possiamo stabilire che la somma delle soluzioni è un dato valore e vogliamo sapere che valore deve avere il parametro affinché questa condizione sia vera. Insomma, le equazioni parametriche ci permettono di tenere conto di tante variabili. In realtà, tutte le dimostrazioni riguardanti le formule per risolvere i problemi, le espressioni e le equazioni come anche le considerazioni dei parametri e del discriminante delle equazioni di secondo grado sono tutte equazioni parametriche, perché abbiamo stabilito varie condizioni.
Dimostrazione sulle equazioni parametriche
Per spiegare in modo semplice come funziona un’equazione parametrica, consideriamo l’equazione di secondo grado ridotta in forma normale e vediamo come risolverla.
ax2 + bx +c = 0
In questo caso abbiamo a che fare con un’equazione che ha tre parametri diversi: a, b e c. A seconda del loro valore, il modo per risolvere l’equazione cambia completamente.
Se a = 0, allora l’incognita di secondo grado si annulla e l’equazione diventa lineare e facilmente risolvibile:
bx + c = 0
x = – c/b
Se b = 0 e c = 0, l’equazione viene chiamata monomia, perché appare un solo termine e x = 0.
ax2 = 0
x2 = 0/a
x = 0
Se b = 0 e gli altri parametri sono diversi da 0, l’equazione si chiama pura e ha due soluzioni:
Se c = 0, mentre gli altri coefficienti sono diversi da 0, l’equazione si chiama spuria e ha due soluzioni, di cui una è sempre uguale a 0.
Infine, se tutti i parametri sono diversi da 0, l’equazione è completa e per risolverla applichiamo la formula risolutiva.
Anche questa formula può essere considerata un’equazione parametrica e il risultato dipende dall’espressione dentro la radice chiamata discriminante. Se questa è minore di 0, la radice quadrata è impossibile come anche l’equazione. Se invece è nulla, la formula si semplifica e ci basta calcolare il rapporto tra il coefficiente del termine di primo grado con il doppio di quello del secondo.
Come vediamo, lo scopo delle equazioni parametriche non è quello di ricavare un unico valore, piuttosto è quello di permetterci di considerare tutte le variabili in gioco e di avere già la soluzione più semplice in base a quelle condizioni. Gli esercizi su questo tipo di equazioni consiste proprio nel valutare tutte le possibilità, in altri vengono stabilite determinate condizioni da soddisfare e ci viene chiesto di verificare se i parametri soddisfano queste condizioni.
