Dato uno spazio vettoriale, presi alcuni vettori appartenenti allo spazio, si parla di dipendenza lineare quando qualcuno di loro ottenuto dalla combinazione lineare di altri. In questo caso si dice che i vettori sono linearmente dipendenti, in caso contrario sono linearmente indipendenti.
Uno spazio vettoriale è un gruppo abeliano a cui viene definita un’operazione di moltiplicazione con gli elementi di un campo, come quello dei numeri reali o dei numeri complessi, cui valgono le seguenti proprietà:
- Distributiva del prodotto di un vettore sulla somma di due scalari,
- Distributiva del prodotto di uno scalare sulla somma di due vettori
- La proprietà associativa sul prodotto di due scalari e un vettore
- Esiste l’elemento neutro, lo scalare 1 che moltiplicato con un vettore ritorna lo stesso vettore.
Affinché ci sia dipendenza lineare tra alcuni vettori di uno spazio deve risultare che la loro combinazione lineare, cioè la somma dei loro prodotti con degli scalari non tutti nulli, sia il vettore nullo.
\[ (K,+, \cdot) \text{ campo}, \quad K^{m} \text{ spazio vettoriale su } K, \quad a_{1}..a_{r} \in K \] \[ a_{1}v_{1} + a_{2}v_{2} + … + a_{r}v_{r} = \mathbf{0} \]Infatti se ad esempio un vettore fosse multiplo di un altro la loro differenza sarebbe il vettore nullo perché si annullerebbero tra loro.
v_{1} = 2v_{2} => v_{1} – 2v_{2} = 2v_{2} – 2v_{2} = \mathbf{0}Criterio di indipendenza lineare
Da quanto detto nasce il criterio di indipendenza lineare. Dato uno spazio vettoriale definito su un campo, dati due o più vettori, essi sono linearmente indipendenti se e solo se:
- Il primo vettore non è nullo;
- Tutti gli altri vettori non fanno parte della combinazione dei precedenti.
Per dimostrare il criterio possiamo ragionare per assurdo. Supponiamo che i vettori siano linearmente indipendenti. Allora la loro combinazione lineare deve essere diversa da 0. Ma se considerassimo il primo vettore nullo e lo moltiplicassimo per 1 e tutti gli altri vettori con cui è in combinazione fossero moltiplicati per 0 otterremmo il vettore nullo, contraddicendo l’ipotesi:
\[ \text{Suppongo che}:\]\[ v_{1} = \mathbf{0} 1v_{1} + 0v_{2} + … + 0v_{r} = \mathbf{0} => \text{Dipendenza lineare} \]Supponiamo adesso che uno degli altri vettori appartenga alla combinazione lineare dei precedenti. Questo significa che se lo sottraessimo alla loro combinazione lineare avremmo il vettore nullo e se moltiplicassimo per 0 tutti i vettori successivi otterremmo una dipendenza lineare, contraddicendo di nuovo le ipotesi.
\[\text{Supponiamo che } v_{i} \in \mathscr{L}(v_{1},..,v_{i-1})\] \[=> \exists a_{1},..,a_{i-1} \in K : v_{i} = \sum_{j=1}^{i-1} a_{j}v_{j}\] \[=> \sum_{j=1}^{i-1} a_{j}v_{j} – 1 \cdot v_{i} + 0 \cdot v_{i+1} + … + 0 \cdot v_{r} = \mathbf{0} => \text{Dipendenza lineare}\]Supponiamo adesso vere entrambe le condizioni e consideriamo una combinazione lineare nulla dei vettori e supponiamo che l’ultimo scalare sia diverso da 0. Il prodotto scalare con l’ultimo vettore sarà uguale alla differenza di tutti gli altri, per il primo principio di equivalenza. Se moltiplichiamo ambo i membri per l’inverso dello scalare otteniamo una dipendenza lineare cosa impossibile perché abbiamo detto che l’ultimo scalare è diverso da 0:
\[\text{Supponiamo che } v_{1} \neq \mathbf{0} \land v_{i} \notin \mathscr{L}(v_{1},..,v_{i-1}), \quad \text{per} \quad 2 \leq i \leq r\] \[\text{Consideriamo } a_{1}v_{1} + a_{2}v_{2} + … + a_{r}v_{r} = \mathbf{0}, \quad a_{i} \in K\] \[\text{Supponiamo che } a_{r} \neq 0\] \[=> a_{r}v_{r} = – (a_{1}v_{1} + a_{2}v_{2} + … + a_{r-1}v_{r-1})\] \[=> v_{r} = – a_{r}^{-1}(a_{1}v_{1} + a_{2}v_{2} + … + a_{r-1}v_{r-1})\] \[=> v_{r} \in \mathscr{L}(v_{1},..,v_{r-1}) => \text{Contraddizione}\]