Le funzioni periodiche sono relazioni tra un sottoinsieme del campo dei numeri reali e il campo stesso dove esiste un elemento del sottoinsieme maggiore di 0 per cui per ogni elemento dell’insieme la funzione su quell’elemento è uguale alla funzione applicata sulla loro somma e anche la somma dei due elementi appartiene all’insieme.
Le funzioni goniometriche, ad esempio, sono anche periodiche, perché si ripetono ad ogni periodo. Ad esempio il seno e il coseno hanno gli stessi valori per ogni angolo giro, mentre la funzione di tangente si ripete ogni 180 gradi
Dato un sottoinsieme del campo dei numeri reali e sia definita una funzione dal sottoinsieme ai reali, si dice funzione periodica se per ogni elemento del sottoinsieme esiste un elemento dell’insieme, chiamato in questo caso periodo, la cui somma tra i due appartiene ancora all’insieme tale che la funzione applicata alla somma dell’elemento con il periodo è uguale alla funzione applicata all’elemento stesso.
\[ f: A \to \mathbb{R} \quad \text{è periodica} \] \[ \implies \exists T > 0 \quad \forall x \in A \quad f(x + T) = f(x) \]Se tra 0 e il numero scelto T non esiste un altro numero, chiamiamolo S la cui funzione sulla somma tra lui e un elemento x dell’insieme è uguale alla funzione dell’elemento x, allora il numero scelto viene chiamato periodo della funzione e la funzione viene chiamata periodica di periodo T.
Tuttavia preso un numero reale maggiore di 0 per cui la funzione della sua somma con gli elementi dell’insieme e uguale alla funzione applicata soltanto sull’elemento preso, come da definizione, sopra, allora il numero o è il periodo o un suo multiplo.