Una funzione che ha come dominio e codominio due sottoinsiemi dei numeri reali si dice invertibile se esiste una funzione che ha come dominio il secondo insieme e codominio il primo insieme tale che la funzione composta della prima con la seconda ritorna l’elemento della funzione per ogni elemento del secondo insieme e tale che la funzione composta della seconda con la prima ritorna l’elemento della funzione per ogni elemento del primo insieme.
Le funzioni composte sono relazioni tra due funzioni applicate sui rispettivi domini ma aventi codominio in comune dove la seconda funzione può essere applicata su alcuni risultati della prima funzione.
Data una funzione \(f: A \to \mathbb{R}\) e una funzione \(g: B \to \mathbb{R}\) e tali che \(f(A) \cap B \neq \emptyset\), la funzione composta \(g \circ f: f(A) \cap B \to \mathbb{R}\) è definita come:
\[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) \quad \forall x \in f: (A) \cap B \]Una funzione \(f: A \to B\) è invertibile se esiste una funzione \(g: B \to A\) tale che:
\[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) = x \quad \forall x \in A \] \[ (f \circ g)(y) = f(g(y)) = y \quad \forall y \in B \]In questo caso, la funzione \(g\) è chiamata funzione inversa di \(f\) e si denota con \(f^{-1}\).
La funzione inversa, se esiste, è unica cioè se esistono due funzioni che possono essere considerate inverse di una data e quindi soddisfano le condizioni dette sopra per ogni elemento dei due domini allora le due funzioni sono uguali, sono la stessa funzione.
Se una funzione f è invertibile, lo è anche f-1 e l’inversa di una funzione inversa è quella data.
Teorema sulle funzioni invertibili
Una funzione è invertibile se e solo se è biettiva.
Ricordiamo che una funzione si dice:
- Iniettiva, quando presi due elementi del dominio uno minore dell’altro, anche il risultato della funzione è applicato sul primo è minore del risultato della stessa applicata sul secondo elemento;
- Suriettiva, quando l’immagine della funzione coincide con tutto il dominio, cioè se per ogni elemento del codominio esiste almeno un elemento del dominio tale che la funzione applicata sull’elemento da come risultato l’elemento del codominio;
- Biettiva, quando è sia iniettiva che suriettiva.
(⇒) Supponiamo che \(f: A \to B\) sia invertibile, cioè esiste una funzione \(g: B \to A\) tale che:
\[ (g \circ f)(x) = x \quad \forall x \in A \] \[ (f \circ g)(y) = y \quad \forall y \in B \]Mostriamo che \(f\) è iniettiva:
\[ f(x_1) = f(x_2) \] \[ g(f(x_1)) = g(f(x_2)) \] \[ x_1 = x_2 \]Mostriamo che \(f\) è suriettiva:
\[ \forall y \in B \quad \exists x \in A \quad f(x) = y \](⇐) Supponiamo che \(f: A \to B\) sia biunivoca, cioè iniettiva e suriettiva. Definiamo la funzione \(g: B \to A\) come segue:
\[ \forall y \in B \quad \exists! x \in A \quad f(x) = y \] \[ g(y) = x \]Mostriamo che \(g\) è l’inversa di \(f\):
\[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) = x \quad \forall x \in A \] \[ (f \circ g)(y) = f(g(y)) = y \quad \forall y \in B \]