Le proprietà delle operazioni sono delle semplici regole riguardanti le operazioni aritmetiche e algebriche e quindi l’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione e la divisione. Alcune di queste sono esclusive di una determinata operazione altre sono condivise almeno da qualcuna di loro.
L’addizione e la moltiplicazione sono operazioni interne all’insieme dei numeri naturali 
perché la somma o il prodotto di due o più numeri naturali darà sempre un altro numero naturale.
Le due operazioni hanno anche un elemento neutro, cioè un numero che sommato o moltiplicato a un qualsiasi altro numero darà come risultato quel numero stesso. L’elemento neutro dell’addizione è 0 mentre quello della moltiplicazione è 1.
a + 0 = 0 + a = a
2 + 0 = 2; 256 + 0 = 256; 2412 + 0 = 2412; 352 + 0 = 352
a ∙ 1 = 1 ∙ a = a
20 ∙ 1 = 20; 1 ∙ 25 = 25; 34 ∙ 1 = 34
La moltiplicazione ha inoltre l’elemento assorbente, che è 0, perché qualsiasi numero moltiplicato per questo elemento dà come risultato 0.
a ∙ 0 = 0 ∙ a = 0
0 ∙ 20 = 0; 350 ∙ 0 = 0; 0 ∙ 0 = 0; 1 ∙ 0 = 0
Da quello che abbiamo detto deriva la legge di annullamento del prodotto, secondo cui in una moltiplicazione il prodotto tra due numeri è 0 se e soltanto se almeno uno dei fattori è 0.
Quali sono le proprietà delle operazioni
Vedremo ora le varie proprietà e su quali tipi di operazioni valgono.
Proprietà commutativa
La proprietà commutativa vale quando invertendo l’ordine dei numeri di un’operazione, il risultato non cambia.
Questo vale nelle addizioni e nelle moltiplicazioni. Vediamo degli esempi
2 + 3 = 5; 3 + 2 = 5
3 ∙ 4 = 12; 4 ∙ 3 = 12
Non vale per la sottrazione né per la divisione:
7 – 5 = 2; 5 – 7 =
6 : 2 = 3; 2 : 6 =
Proprietà associativa
E’ legata a quella precedente.
Se abbiamo più di due numeri sotto la stessa operazione, è indifferente quali sommiamo e moltiplichiamo per primi: il risultato è sempre lo stesso.
(2 + 3) + 5 = 5 + 5 = 10; 2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10
(3 ∙ 4) ∙ 2 = 12 ∙ 2 = 24; 3 ∙ (4 ∙ 2) = 3 ∙ 8 = 24
Proprietà distributiva
Se moltiplichiamo il risultato di un addizione o sottrazione per un altro numero o se moltiplichiamo prima i numeri e poi sommiamo i prodotti ottenuti, il risultato non cambia.
(2 + 3) ∙ 6 = 5 ∙ 6 = 30; (2 + 3) ∙ 6 = 12 + 18 = 30
(6 – 2) ∙ 3 = 4 ∙ 3 = 12; (6 – 2) ∙ 3 = 18 – 6 = 12
La stessa regola vale per la divisione solo se le somme o le differenze sono a sinistra:
(16 + 8) : 4 = 24 : 4 = 6; (16 + 8) : 4 = 4 + 2 = 6
(16 – 8) : 4 = 8 : 4 = 2; (16 – 8) : 4 = 4 – 2 = 2
Mentre se la somma, o la differenza, è dalla parte del divisore, la proprietà non vale più
120 : (4 + 3) = 120 : 6 = 20; 120 : (4 + 3) = 30 + 40 = 70
Sotto puoi vedere uno tabella riassuntiva.
Utilità delle proprietà delle operazioni
Conoscere queste proprietà sarà molto utile e importante, specialmente quando si avrà a che fare con le operazioni algebriche più complesse. Per poter risolvere determinate espressioni, sarà necessario semplificarle; alcune proprietà sono alla base di queste semplificazioni.