Gli angoli associati sono stati molto importanti per ricavare le funzioni goniometriche di un angolo maggiore di 90°. Oggi grazie alle calcolatrici scientifiche possiamo ricavare le funzioni di seno, coseno e tangente di qualsiasi angolo. Ma nel passato bisognava consultare le tavole logaritmiche che dedicavano centinaia di pagine a indicare le varie funzioni di tutti gli angoli acuti, comprese le loro forme decimali. Qui puoi vedere un esempio di questi manuali.
Ma come facevano i tecnici e altri a trovare le funzioni goniometriche di angoli che si trovavano nel II, III e IV quadrante? Si servivano degli angoli associati. Vediamone la definizione.
Gli angoli associati ad un angolo α sono tutti quegli angoli che hanno le funzioni goniometriche, in valore assoluto, uguali a quelli di α.
Ad esempio, l’angolo supplementare ad α, cioè quello che sommato ad α dà un angolo di 180°, ha i suoi stessi valori assoluti. Pertanto, bastava trovare il supplementare dell’angolo interessato e poi cercare le sue funzioni goniometriche nella tavola logaritmica. Quest’operazione viene chiamata riduzione al I quadrante.
Ad esempio, supponiamo di avere bisogno delle funzioni goniometriche di un angolo di 160°. Ricaviamo il suo supplementare (180° – 160° = 20°) e cerchiamo nella tavola i suoi valori. Teniamo presente, come vedremo più avanti, che:
- sen 20° = sen 160°
- cos 20° = – cos 160°
- tg 20° = – tg 160°
- ctg 20° = – cotg 160°
Questo perché i due angoli, pur avendo lo stesso valore assoluto per le loro funzioni, si trovano in due quadranti diversi del sistema cartesiano, come mostra l’immagine.
Per sapere come si ricavano queste funzioni vedi l’articolo: Il cerchio goniometrico
Vediamo adesso i vari tipi di angoli associati: useremo come unità di misura il centesimale.
Gli angoli complementari. In questo caso i due angoli si trovano nel I quadrante e sono due angoli acuti. Sono considerati associati perché il seno del primo ha lo stesso valore assoluto del coseno del secondo. Anche per la tangente e la cotangente vale la stessa cosa. Dato che si trovano tutti nello stesso quadrante, il segno non cambia.
- sen (100c – α) = cos α
- cos (100c – α) = sen α
- tg (100c – α) = cotg α
- cotg (100c – α) = tg α
Questo perché in un triangolo rettangolo il seno di un angolo acuto è uguale al rapporto tra il suo cateto opposto e quello adiacente; per il coseno vale il viceversa. Per di più gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono sempre complementari.
Gli angoli supplementari seguono la regola dell’esempio mostrato sopra.
- sen α = sen (200c – α)
- cos α = – cos (200c – α)
- tg α = – tg (200c – α)
- cotg α = – cotg (200c – α)
Gli angoli antisupplementari. Se abbiamo un angolo maggiore di 200c si troverà nel III quadrante. Ma se gli togliamo un angolo piatto saremo in grado di ricavare le sue funzioni goniometriche.
- sen α = – sen (α – 200c)
- cos α = – cos (α – 200c)
- tg α = tg (α – 200c)
- ctg α = cotg (α – 200c)
Nel caso degli angoli esplementari, α si troverà nel I quadrante mentre 400 – α nel IV quadrante.
- sen α = – sen (400c – α)
- cos α = cos (400c – α)
- tg α = – tg (400c – α)
- cotg α = – cotg (400c – α)
Gli angoli opposti si troveranno uno al I quadrante e l’altro nel IV quadrante.
- sen α = – sen (- α)
- cos α = cos (- α)
- tg α = – tg (- α)
- cotg α = – cotg (- α)
