Dato uno spazio vettoriale su un campo finitamente generato e dati due suoi sottospazi, la formula di Grassmann dice che la dimensione della somma dei due sottospazi è uguale alla differenza della somma della dimensione di ciascun sottospazio con la dimensione della loro intersezione.
\[ V \quad \text{spazio vettoriale su } K finitamente generato \] \[ U, W \text{ sottospazi di V} \] \[ \dim(U + W) = \dim(U) + \dim(W) – \dim(U \cap W) \]Per capire questo teorema bisogna prima conoscere queste definizioni:
- Uno spazio vettoriale su un campo è un gruppo abeliano a cui viene definita un’operazione di prodotto con gli elementi di un campo;
- Un sottospazio è un sottoinsieme dello spazio vettoriale che soddisfa le stesse condizioni di spazio vettoriale su quel campo;
- La dimensione di uno spazio vettoriale è il numero di elementi di una sua base, cioè dell’insieme dei suoi generatori.
Precisiamo qui che la dimensione di un sottospazio è minore o uguale allo spazio vettoriale a cui appartiene. Soprattutto se il sottospazio non è uguale allo spazio vettoriale in cui è incluso, la sua dimensione è minore di quella dello spazio.
Infatti anche la base del sottospazio sarebbe un sottoinsieme della base dello spazio vettoriale quindi o forma tutto lo spazio vettoriale o forma quello del sottospazio quando non contiene tutti gli elementi dello spazio.
In particolare se la somma tra i due sottospazi è diretta, allora la sua dimensione è uguale alla somma delle dimensioni dei singoli sottospazi dato che la loro intersezione è l’insieme vuoto.
\[ \dim(U \oplus W) = \dim(U) + \dim(W) \]