In questo testo, diamo la definizione rigorosa dei numeri interi, definiamo le loro operazioni e le loro proprietà. Per una trattazione più semplice si legga questo articolo.
Presa una coppia di numeri naturali, l’insieme dei numeri interi è formata dalle loro classi di equivalenza, cioè tutte le altre coppie di naturali che sono in relazione tra loro.
Prese due coppie di numeri naturali, essi formano un numero
intero se hanno la stessa classe di equivalenza, se sono in relazione tra
loro, quindi se la somma del primo naturale della prima coppia con il secondo della seconda è uguale alla somma del secondo numero della prima coppia con il primo della seconda.
Questa definizione implica anche che la differenza della prima coppia è uguale alla differenza dei numeri della seconda, anche se la differenza non fa parte dei numeri naturali perché sarebbe minore di 0.
\[ (m,n) \sim (m’,n’) \quad \text{se} \quad m – n = m’ – n’ \]Ad esempio, la classe di equivalenza del numero intero -2 è formata da tutte le coppie di numeri naturali (n,m) tali che n + 2 = m, cioè tutte le coppie (0,2), (1,3), (2,4), e così via. La classe di equivalenza del numero intero 3 è formata da tutte le coppie di numeri naturali (n,m) tali che n = m + 3, cioè tutte le coppie (3,0), (4,1), (5,2), e così via.
Possiamo rappresentare un numero intero anche in un modo più semplice, in base alla relazione di ordine dei numeri di una coppia:
\[ \forall [(m,n)] \in \mathbb{Z}, \quad k = m – n \] \[ m = n \implies [(m,n)] = [(0,0)] \] \[ m \gt n \implies [(m,n)] = [(k,0)] = k \] \[ m \lt n \implies [(m,n)] = [(0,k)] = -k \]Operazioni tra i numeri interi
Quando indichiamo un numero intero come classe di equivalenza senza specificare i valori dei singoli numeri della coppia, usiamo le parentesi quadre. Così [(m,n)] rappresenta tutti i numeri la cui differenza dà l’intero m-n.
Dati due numeri interi, definiamo la somma tra di loro come il numero intero formato dalla somma dei loro numeri nella rispettiva posizione. Così stiamo in effetti operando sull’addizione dei numeri naturali e valgono le proprietà commutativa e associativa dell’addizione
\[ [(m,n)] + [(m’,n’)] = [(m + m’, n + n’)] \]L’elemento neutro si chiama [(k,k)] e rappresenta lo zero.
\[ [(m,n)] + [(k,k)] = [(m + k, n + k)] = [(m,n)] \]Il numero opposto di [(m,n)] è [(n,m)], infatti:
\[ [(m,n)] + [(n,m)] = [(m + n, n + m)] = [(m + n, m + n)] = [(k,k)] \]Inoltre, possiamo definire l’operazione di moltiplicazione nell’insieme dei numeri interi in questo modo:
\[ [(m,n)] \cdot [(m’,n’)] = [(m \cdot m’ + n \cdot n’, m \cdot n’ + n \cdot m’)] \]Di nuovo, stiamo operando con i numeri naturali e quindi valgono tutte le loro proprietà. Lo stesso si può dire nella definizione di ordine.