I numeri interi

I numeri interi

I numeri interi sono considerati tutti i numeri che non hanno la virgola e include i numeri naturali, i numeri negativi e lo zero. Il loro insieme viene indicato con il simbolo Z.

I numeri naturali sono quelli che usiamo comunemente e che partono da 1. Nel nuovo insieme vengono scritti con il segno + e vengono chiamati numeri interi positivi e vengono indicati con Z+. I numeri che precedono lo 0 vengono definiti interi negativi e indicati con il simbolo Z. Se all’insieme dei numeri positivi viene aggiunto lo 0, l’insieme viene chiamato dei numeri interi non negativi e il simbolo diventa Z+0.

Due numeri che hanno segno diverso ma lo stesso numero naturale, chiamato anche valore assoluto o modulo, vengono chiamati opposti come +15 e – 15, +47 e -47.

Due interi diversi da zero ma con lo stesso segno sono concordi mentre se hanno segno diverso vengono definiti discordi. Quindi, +2 e +5 sono concordi mentre -7 e +9 sono discordi.

Dato che per ogni numero naturale corrisponde lo stesso numero intero positivo, quest’ultimo si può anche scrivere senza segno. Ad esempio 22 indica anche l’intero +22.

Il valore assoluto di un numero a viene indicato con | a | che corrisponde sia a +a che a -a. Quindi, il valore assoluto di -6 è 6 e si scrive sempre senza segno. | +4 | = 4 ; | -3 | = 3.

Operazioni tra numeri interi e proprietà

Le operazioni tra i numeri interi sono le stesse dei numeri naturali ma si usano in modo leggermente diverso.

La somma tra due numeri concordi ha come risultato un numero intero che ha lo stesso segno degli addendi e il valore assoluto uguale alla somma degli altri due. Per esempio:

(+4) + (+6) = +10 e (-5) + (-10) = -15.

Quando si fa la somma tra due interi discordi, il segno del risultato sarà uguale all’addendo che ha il valore assoluto maggiore mentre il valore assoluto del risultato sarà uguale alla differenza tra i due numeri. Così:

(+4) + (-7) = -3 e (+9) + (-5) = +4

Possiamo semplificare le espressioni tra numeri interi non scrivendo le parentesi e il segno + di addizione.

4 + 6 = 10

-5-10 = -15

4 – 7 = -3

9 – 5 = 4

Per quanto riguarda la sottrazione, abbiamo visto che viene semplificata. In realtà, si può dire che la differenza tra due interi è uguale alla somma del minuendo con l’opposto del sottraendo. Le sottrazioni sono sempre possibili nell’insieme Z.

(+9) – (-5) = (+9) + (+5) = 9 + 5 = 14

L’addizione e la sottrazione possono essere considerate come una sola operazione che viene chiamata somma algebrica. Vale la proprietà commutativa ma anche quella invariantiva.

La moltiplicazione e la divisione tra numeri interi è abbastanza semplice. Per quanto riguarda il segno del risultato, in entrambi i casi sarà positivo se i numeri sono concordi mentre sarà negativo se gli interi sono discordi. Il valore assoluto si ricava come nelle operazioni normali.

(+3) ∙ (+5) = +15

(+2) ∙ (-4) = -8

18 : (-9) = -2

24 : 4 = 6

Se facciamo il prodotto o il quoziente tra più numeri interi, il segno del risultato sarà positivo se il numero dei termini è pari, altrimenti sarà dispari.

(-7) ∙ (-3) ∙ (-2) = 21 ∙ (-2) = -42

Per la moltiplicazione vale di nuovo la proprietà distributiva mentre per la divisione valgono quella invariantiva e quella distributiva a destra.