Le proprietà delle operazioni

Le proprietà delle operazioni

Le proprietà delle operazioni sono delle semplici regole riguardanti le operazioni aritmetiche e algebriche e quindi l’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione e la divisione. Alcune di queste sono esclusive di una determinata operazione altre sono condivise almeno da qualcuna di loro.

L’addizione e la moltiplicazione sono operazioni interne all’insieme dei numeri naturali insieme numeri naturali (n) perché la somma o il prodotto di due o più numeri naturali darà sempre un altro numero naturale.

Le due operazioni hanno anche un elemento neutro, cioè un numero che sommato o moltiplicato a un qualsiasi altro numero darà come risultato quel numero stesso. L’elemento neutro dell’addizione è 0 mentre quello della moltiplicazione è 1.

a + 0 = 0 + a = a

2 + 0 = 2; 256 + 0 = 256; 2412 + 0 = 2412; 352 + 0 = 352

a 1 = 1 a = a

20 ∙ 1 = 20; 1 ∙ 25 = 25; 34 ∙ 1 = 34

La moltiplicazione ha inoltre l’elemento assorbente, che è 0, perché qualsiasi numero moltiplicato per questo elemento dà come risultato 0.

a 0 = 0 a = 0

0 ∙ 20 = 0; 350 ∙ 0 = 0; 0 ∙ 0 = 0; 1 ∙ 0 = 0

Da quello che abbiamo detto deriva la legge di annullamento del prodotto, secondo cui in una moltiplicazione il prodotto tra due numeri è 0 se e soltanto se almeno uno dei fattori è 0.

Quali sono le proprietà delle operazioni

Vedremo ora le varie proprietà e su quali tipi di operazioni valgono.

Proprietà commutativa

La proprietà commutativa vale quando invertendo l’ordine dei numeri di un’operazione, il risultato non cambia.

Questo vale nelle addizioni e nelle moltiplicazioni. Vediamo degli esempi

2 + 3 = 5; 3 + 2 = 5

3 4 = 12; 4 3 = 12

Non vale per la sottrazione né per la divisione:

7 – 5 = 2; 5 – 7 =

6 : 2 = 3; 2 : 6 =

Proprietà associativa

E’ legata a quella precedente.

Se abbiamo più di due numeri sotto la stessa operazione, è indifferente quali sommiamo e moltiplichiamo per primi: il risultato è sempre lo stesso.

(2 + 3) + 5 = 5 + 5 = 10; 2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10

(3 4) 2 = 12 2 = 24; 3 (4 2) = 3 8 = 24

Proprietà distributiva

Se moltiplichiamo il risultato di un addizione o sottrazione per un altro numero o se moltiplichiamo prima i numeri e poi sommiamo i prodotti ottenuti, il risultato non cambia.

(2 + 3) 6 = 5 6 = 30; (2 + 3) 6 = 12 + 18 = 30

(6 – 2) 3 = 4 3 = 12; (6 – 2) 3 = 18 – 6 = 12

La stessa regola vale per la divisione solo se le somme o le differenze sono a sinistra:

(16 + 8) : 4 = 24 : 4 = 6; (16 + 8) : 4 = 4 + 2 = 6

(16 – 8) : 4 = 8 : 4 = 2; (16 – 8) : 4 = 4 – 2 = 2

Mentre se la somma, o la differenza, è dalla parte del divisore, la proprietà non vale più

120 : (4 + 3) = 120 : 6 = 20; 120 : (4 + 3) = 30 + 40 = 70

Sotto puoi vedere uno tabella riassuntiva.

Le proprietà delle operazioni | Commutativa, associativa e distributiva
Le proprietà delle operazioni | Commutativa, associativa e distributiva

Utilità delle proprietà delle operazioni

Conoscere queste proprietà sarà molto utile e importante, specialmente quando si avrà a che fare con le operazioni algebriche più complesse. Per poter risolvere determinate espressioni, sarà necessario semplificarle; alcune proprietà sono alla base di queste semplificazioni.

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