La divisione

La divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione. Fare la divisione tra due numeri consiste nel trovare quel numero che moltiplicato al secondo dia come prodotto il primo. In simboli si esprime così:

a : b = q

a viene chiamato dividendo mentre b è il divisore;
q è il quoziente cioè quel numero che moltiplicato per il divisore dia come risultato il dividendo: q ∙ b = a;
Il divisore deve sempre essere diverso da zero: b ≠ 0

Vediamo adesso alcuni esempi:

10 : 2 = 5 perché 5 ∙ 2 = 10;
16 : 4 = 4 perché 4 ∙ 4 = 16

Se il divisore è uguale a zero, la divisione è impossibile e non viene definita dato che qualsiasi numero moltiplicato per zero da 0.

5 : 0 non è definito
10 : 0 non è definito

Se il dividendo è 0 e il divisore è diverso da 0, allora la divisione sarà sempre possibile e il quoziente è 0.

0 : 4 = 0 perché 0 ∙ 4 = 0
0 : 50 = 0 perché 0 ∙ 50 = 0

Vedi anche: La moltiplicazione

Divisioni in colonna

Quando dobbiamo dividere numeri abbastanza grandi o numeri piccoli che non sono divisibili per un altro numero, si rivolve la divisione in colonna.

Quando a non è divisibile per b non esiste un numero naturale q tale che q ∙ b = a, ma è sempre possibile fare la divisione con resto. Il resto r è quel numero che sommato a q ∙ b dia come risultato a. In simboli, si scrive:

a = q ∙ b + r

Vediamo due esempi il primo è 35 : 6.

Come possiamo vedere abbiamo riportato a sinistra il dividendo e a destra il divisore. Il quoziente viene riportato in basso a destra, sotto il dividendo. Moltiplichiamo il quoziente per il dividendo e riportiamo il prodotto sotto il divisore. La differenza tra 35 e 30 dà il resto.

Diremo quindi che 35 : 6 = 5 con il resto di 5 perché 5 ∙ 6 + 5 = 30 +5 = 35.

Nel caso di numeri con più cifre si ripete il procedimento più volte fino a quando non è più possibile dividere il resto, come nel caso di 452 : 12.

452 : 12 = 37 con il resto di 8 perché 37 ∙ 12 + 8 = 444 +8 = 452

Quando il resto è uguale a 0, la divisione si dice esatta e che a è divisibile per b. Ad esempio, 4 è divisibile per 2 perché 2 ∙ 2 = 4 e 6 è divisibile per 3 dato che 6 = 3 ∙ 2 + 0. Ovviamente, nelle operazioni matematiche lo zero viene sottinteso.

Se q = 0, e a < b il resto sarà uguale al divisore come nel caso di 3 : 5 = 0 con resto di 3 perché 3 = 0 ∙ 5 + 3

Proprietà della divisione

Per la divisione valgono la proprietà distributiva rispetto all’addizione e alla sottrazione e quella invariantiva.

Secondo la proprietà distributiva della divisione rispetto all’addizione, il quoziente tra una somma e un numero diverso da zero è uguale alla somma dei quozienti fra ognuno degli addendi e quel numero.

(a + b) : c = a : c + b : c

Con c ≠ 0

Vediamo un esempio:

(10 + 8) : 2 = 10 : 2 + 8 : 2 = 5 + 4 = 9

Secondo la proprietà distributiva rispetto alla sottrazione, il quoziente tra una differenza e un numero diverso da zero è uguale alla differenza dei quozienti fra ognuno degli addendi e quel numero.

(a – b) : c = a : c – b : c

Con c ≠ 0

Anche in questo caso vediamo un esempio:

(24 – 16) : 4 = 24 : 4 – 16 : 4 = 6 – 4 = 2

Per la proprietà invariantiva, il quoziente fra due numeri non cambia se ad ognuno di loro viene moltiplicato o diviso per uno stesso numero diverso da 0.

(a : b) = (a ∙ c) : (b ∙ c)

(a : b) = (a : c) : (b : c)

Vediamo due esempi che lo dimostrano

(6 : 3) = (6 ∙ 2) : (3 ∙ 2) = 12 : 6 = 2

(50 : 25) = (50 : 5) : (25 : 5) = 10 : 5 = 2