Poligoni equivalenti

I poligoni equivalenti sono delle figure geometriche che hanno la stessa area, la stessa estensione di superficie, anche se dovessero avere lunghezze, altezze e numero di lati diversi. Il concetto di equivalenza permette di ricavare formule e teoremi per risolvere problemi di geometria più complessi.

I concetti di superficie ed estensione vengono considerati, in realtà, come concetti primitivi che non hanno una vera e propria definizione. In geometria si parla spesso di poligonale, intesa come un contorno chiuso di una figura geometrica, e del poligono, intesa come la figura vera e propria. Possiamo immaginare la superficie, o l’area, come il poligono vero e proprio e l’estensione come il valore di questa superficie.

I concetti di superficie, area ed estensione sono stati importanti fin dai tempi dell’antico Egitto, perché erano importanti per stabilire i limiti dei terreni agricoli e dividere un grande appezzamento di terreno in parti uguali. Questo permise, nei secoli successivi, di ricavare dei teoremi importanti anche oggi, come il teorema di Pitagora.

Per calcolare l’area di una figura semplice come il rettangolo, bisogna ricordare che quando si stabilisce la lunghezza dei suoi lati, la base e l’altezza, si ricorre ad un segmento, spesso chiamato u, che ne rappresenta l’unità di misura, come se su ciascun lato ci fosse una linea graduata. Possiamo immaginare il rettangolo diviso in tanti piccoli quadrati equivalenti che hanno come superficie il valore di u2. La somma di tutte queste aree equivale al prodotto della base con l’altezza del rettangolo che essi formano.

Esempio superficie rettangolo unità di misura

Esempi principali di poligoni equivalenti

Alcuni tipi di poligoni sono fondamentali per ricavare delle formule abbastanza semplici per calcolare le superfici. Il primo esempio è quello di due parallelogrammi che hanno la base e l’altezza congruenti, della stessa misura. Possiamo sovrapporre il secondo parallelogramma al primo e considerare i due triangoli formati dall’unione dei loro lati obliqui. I due triangoli sono congruenti per il secondo criterio perché hanno due lati e l’angolo compreso, avendo ciascuno lati paralleli e concordi tra loro, congruenti. Pertanto la superficie dei due parallelogrammi è data dalla somma di poligoni equivalenti.

L'immagine mostra il teorema dei parallelogrammi equivalenti

Il teorema appena dimostrato ci permette di ricavare la formula per calcolare l’area di un parallelogramma. Dato che i rettangoli sono un sottoinsieme dei parallelogrammi, perché hanno i lati opposti paralleli, un rettangolo e un parallelogramma aventi la base e l’altezza della stessa lunghezza sono equivalenti; la stessa cosa vale per i quadrati, parallelogrammi che hanno tutti i lati congruenti. Pertanto anche l’area di un parallelogramma è uguale al prodotto della base per l’altezza.

Che dire dei triangoli? Ovviamente, basta dividere un qualsiasi parallelogramma in due per capire che l’area di ciascun triangolo equivale alla metà del parallelogramma in cui si trova. Esiste, comunque, un teorema specifico e dimostrabile secondo cui un triangolo è equivalente a un parallelogramma che ha la sua stessa altezza e per base la metà della base del triangolo.

Disegniamo un parallelogramma e da uno dei suoi vertici in basso tracciamo un segmento congruente alla sua base. Uniamo l’estremo finale di tale segmento con il vertice in alto del lato più lontano: abbiamo costruito un trapezio e due triangoli. I due triangoli sono congruenti perché hanno in comune la base per costruzione e gli angoli adiacenti ad essi, essendo alterni interni se si considerano le due basi come rette parallele tagliate da due trasversali. Il parallelogramma e il triangolo sono equivalenti perché si ricavano dalla somma di poligoni equivalenti, il trapezio e uno dei due triangoli.

L'immagine mostra il teorema dell'equivalenza tra un triangolo e un parallelogramma perché somma di poligoni equivalenti

Da questa dimostrazione deriva un altro teorema secondo cui due triangoli che hanno base e altezza congruenti hanno la stessa area perché sono equivalenti ad uno stesso parallelogramma.

Un altro esempio di poligoni equivalenti è quello di un trapezio e di un triangolo che ha per base la somma delle basi del trapezio e la stessa altezza. La dimostrazione è identica a quella del teorema precedente: basta tracciare un segmento che parte dall’estremi finale della base maggiore del trapezio e congruente la base minore e unire l’estremo finale con il vertice iniziale della base minore.

Lo stessa cosa vale per un poligono circoscritto ad una circonferenza e ad un triangolo che ha la base uguale al perimetro del poligono e l’altezza della stessa misura del raggio. Per disegnare questo triangolo basta riportare i lati del poligono uno dopo l’altro sulla stessa retta e scegliere un punto qualsiasi sopra la retta in modo che la sua distanza da essa sia uguale al raggio della circonferenza inscritta.

Ciascun singolo triangolo è equivalente al rispettivo triangolo che ciascun lato del poligono forma congiungendo i suoi estremi con il centro della circonferenza inscritta. Pertanto, il triangolo totale è equivalente al poligono perché è dato dalla somma di figure equivalenti a quest’ultimo.

L'immagine mostra un poligono circoscritto ad una circonferenza equivalente un triangolo avente come base il suo perimetro e l'altezza il raggio della circonferenza con spiegazione.
L’area di ciascun triangolo è uguale al semiprodotto della base per l’altezza proiettata su di essa.